Question Number 165262 by mkam last updated on 28/Jan/22 | ||
$$\boldsymbol{{find}}\:\boldsymbol{{the}}\:\boldsymbol{{sum}}\:\underset{\boldsymbol{{n}}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\boldsymbol{{n}}} \:+\:\boldsymbol{{i}}\:\left(\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:\right)^{\boldsymbol{{n}}} \: \\ $$ | ||
Answered by Mathspace last updated on 28/Jan/22 | ||
$$\left.\sum_{{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}} +{i}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{{n}} \right\}=\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}} −\mathrm{1} \\ $$$$+{i}\sum_{{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{{n}} −{i} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}}−\mathrm{1}\:+{i}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}}\:−{i} \\ $$$$=\mathrm{1}+{i}\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−{i}=\mathrm{1}+{i}\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{i} \\ $$ | ||
Answered by Ar Brandon last updated on 28/Jan/22 | ||
$${S}=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left[\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}} +{i}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{{n}} \right] \\ $$$$\:\:\:=\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{{n}} +{i}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\right)^{{n}} \\ $$$$\:\:\:=\mathrm{1}+{i}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}} \\ $$ | ||