Question Number 162410 by mahdipoor last updated on 29/Dec/21 | ||
$$\int\frac{{dx}}{\left({a}−{cosx}\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\:{a}>\mathrm{1} \\ $$ | ||
Answered by mathmax by abdo last updated on 29/Dec/21 | ||
$$\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\int\:\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{a}−\mathrm{cosx}}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=−\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{cosx}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$ $$\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{cosx}\right)^{\mathrm{2}} }=−\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{a}>\mathrm{1}\right) \\ $$ $$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=_{\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{t}} \:\:\:\int\:\:\:\frac{\mathrm{2dt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{a}−\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)} \\ $$ $$=\mathrm{2}\int\:\:\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{a}+\mathrm{at}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{2}\int\:\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}+\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}\int\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}} \\ $$ $$=_{\mathrm{t}=\sqrt{\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}}\mathrm{y}} \:\:\:\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}\:\int\:\:\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)}\frac{\sqrt{\mathrm{a}−\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{a}+\mathrm{1}}}\:\mathrm{dy} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}×\frac{\sqrt{\mathrm{a}−\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{a}+\mathrm{1}}}\:\mathrm{arctan}\left(\sqrt{\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}}\mathrm{t}\right)+\mathrm{c}=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\mathrm{arctan}\left(\sqrt{\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}}\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right) \\ $$ $$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\Psi\left(\mathrm{a}\right)\right) \\ $$ $$\Psi\left(\mathrm{a}\right)=\sqrt{\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=−\left(\mathrm{2a}\right)\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\Psi\left(\mathrm{a}\right)\right. \\ $$ $$+\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ×\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\frac{\Psi^{'} \left(\mathrm{a}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\Psi^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}\right)} \\ $$ $$\Psi^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}\right)^{'} \left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}+\mathrm{2}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}\right)^{'} \left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \\ $$ $$=−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \sqrt{\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}}} \\ $$ $$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\mathrm{is}\:\mathrm{known}... \\ $$ | ||