Question Number 155331 by zakirullah last updated on 28/Sep/21 | ||
$$\mathrm{what}\:\mathrm{is}\:\mathrm{limit}?\:\mathrm{also}\:\mathrm{where}\:\mathrm{we}\:\mathrm{use}\:\mathrm{it}. \\ $$ | ||
Answered by TheHoneyCat last updated on 29/Sep/21 | ||
$$\mathrm{The}\:\mathrm{idea}\:\mathrm{of}\:{limit}\:\mathrm{is}\:\mathrm{very}\:\mathrm{very}\:\mathrm{general}. \\ $$$$\mathrm{It}\:\mathrm{is}\:\mathrm{present}\:\mathrm{in}\:\mathrm{post}\:\mathrm{fields}\:\mathrm{of}\:\mathrm{math} \\ $$$$\left(\mathrm{all}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{non}−\mathrm{descreet}\:\mathrm{ones},\:\mathrm{but}\:\mathrm{also}\:\mathrm{some}\:\mathrm{others}\right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{The}\:\mathrm{general}\:\mathrm{idea}\:\mathrm{of}\:\mathrm{limits}\:\mathrm{is}\:``\mathrm{Looking}\:\mathrm{at}\: \\ $$$$\mathrm{things}\:\mathrm{that}\:\mathrm{get}\:\mathrm{closer}\:\mathrm{to}\:\mathrm{a}\:\mathrm{given}\:\mathrm{value}\:\mathrm{with}\:\mathrm{time}'' \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{This}\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{case}\:\mathrm{for}\:\mathrm{a}\:\mathrm{squence}\:\mathrm{whose}\:\mathrm{limit}\:\mathrm{is}\:{a}_{\infty} \\ $$$$\mathrm{lim}\:{a}_{{n}} ={a}_{\infty} \:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{a}\:\mathrm{formula},\:\mathrm{but}\:\mathrm{a}\:\mathrm{statement} \\ $$$$\mathrm{defined}\:\mathrm{as}\:\mathrm{folows}: \\ $$$$\forall{d}>\mathrm{0}\:\exists{N}\:\forall{n}>{N}\:\:\:\left(−{d}\right)<{a}_{{n}} −{a}_{\infty} <{d} \\ $$$$\mathrm{which}\:\mathrm{means}\:\mathrm{that}\:\mathrm{for}\:\mathrm{evey}\:\mathrm{distance}\:\mathrm{you}\:\mathrm{want} \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{consider}\:\left(\forall{d}>\mathrm{0}\right)\:\mathrm{at}\:\mathrm{some}\:\mathrm{point}\:\mathrm{all}\:\mathrm{the}\: \\ $$$$\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{seqence}\:\left(\exists{N}\:\mathrm{is}\:\mathrm{that}\:\mathrm{point}\:\right. \\ $$$$\left.\forall{n}>\mathrm{0}\:{are}\:{the}\:{values}\:{that}\:{folow}\right)\:\mathrm{will}\:\mathrm{be}\:\mathrm{closer} \\ $$$$\mathrm{to}\:\mathrm{a}_{\infty} \:\mathrm{than}\:\mathrm{d}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{of}\:\mathrm{course}\:\mathrm{can}\:\mathrm{be}\:\mathrm{generalised}\:\mathrm{for}\:\mathrm{any}\: \\ $$$$\mathrm{kind}\:\mathrm{of}\:\mathrm{space}\:\mathrm{you}\:\mathrm{can}\:\mathrm{imagine}\:\left({in}\:{topology}\right) \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{you}\:\mathrm{have}\:\mathrm{a}\:\mathrm{distance}\:\mathrm{function}\:{d}\:\left(\mathrm{such}\:\mathrm{that}\:\right. \\ $$$$\left.{d}\left({x},{y}\right)\:\mathrm{is}\:\mathrm{the}\:\mathrm{distance}\:\mathrm{between}\:{x}\:\mathrm{and}\:{y}\right)\: \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{get}\: \\ $$$$\forall\varepsilon>\mathrm{0}\:\exists{N}\:\forall{n}>{N}\:{d}\left({a}_{{n}} ,{a}_{\infty} \right)<\varepsilon \\ $$$$ \\ $$$${also},\:{it}\:{dosn}'{t}\:{have}\:{to}\:{be}\:{a}\:{sequence} \\ $$$$\mathrm{let}\:{f}\:\mathrm{be}\:\mathrm{a}\:\mathrm{function}\:\mathrm{from}\:\mathrm{a}\:\mathrm{space}\:\mathrm{with}\:\mathrm{a}\:\mathrm{distance} \\ $$$${d}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{to}\:\mathrm{another}\:\mathrm{with}\:\mathrm{a}\:\mathrm{distance}\:{d}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{lim}_{{x}\rightarrow{x}_{\mathrm{0}} } {f}\left({x}\right)={y}_{\mathrm{0}} \\ $$$${means}\:: \\ $$$$\forall\varepsilon_{\mathrm{2}} >\mathrm{0}\:\exists\varepsilon_{\mathrm{1}} >\mathrm{0}\:\:\:{d}_{\mathrm{1}} \left({x},{x}_{\mathrm{0}} \right)<\varepsilon_{\mathrm{1}} \Rightarrow\:{d}_{\mathrm{2}} \left({f}\left({x}\right),{y}_{\mathrm{0}} \right) \\ $$$$\mathrm{still}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{idea},\:\mathrm{if}\:\mathrm{you}\:\mathrm{go}\:\mathrm{close}\:\mathrm{enought}\:\mathrm{to}\:{x}_{\mathrm{0}} \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{function}\:\mathrm{will}\:\mathrm{go}\:\mathrm{close}\:\mathrm{enought}\:\mathrm{to}\:{y}_{\mathrm{0}} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{That}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{limit}\:\mathrm{and}\:\mathrm{since}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{very}\:\mathrm{general},\:\mathrm{it} \\ $$$$\mathrm{is}\:\mathrm{used}\:\mathrm{almost}\:\mathrm{everywere}\:\mathrm{in}\:\mathrm{both}\:\mathrm{math}\:\mathrm{and} \\ $$$$\mathrm{physics} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{If}\:\mathrm{you}\:\mathrm{want}\:\mathrm{some}\:\mathrm{examples}\:\mathrm{here}\:\mathrm{are}\:\mathrm{a}\:\mathrm{few} \\ $$$$\left(\mathrm{note}\:\mathrm{that}\:\mathrm{usualy}\:\mathrm{the}\:\mathrm{distance}\:{d}\left({x},{y}\right)\:{is}\:\mid{x}−{y}\mid\right) \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{defines}\:\mathrm{what}\:\mathrm{a}\:\mathrm{continious}\:\mathrm{function}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{indeed},\:\mathrm{a}\:\mathrm{function}\:\mathrm{is}\:\mathrm{continuous}\:\mathrm{on}\:\mathrm{X}\:\mathrm{when} \\ $$$$\forall{x}_{\mathrm{0}} \in{X}\:\mathrm{lim}_{{x}\rightarrow{x}_{\mathrm{0}} } {f}\left({x}\right)={f}\left({x}_{\mathrm{0}} \right) \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{also}\:\mathrm{how}\:\mathrm{you}\:\mathrm{define}\:\mathrm{the}\:\mathrm{derivative} \\ $$$${f}\:'\left({x}_{\mathrm{0}} \right)=\mathrm{lim}_{{x}\rightarrow{x}_{\mathrm{0}} } \:\frac{{f}\left({x}\right)−{f}\left({x}_{\mathrm{0}} \right)}{{x}−{x}_{\mathrm{0}} } \\ $$$$\mathrm{hence}\:\mathrm{how}\:\mathrm{you}\:\mathrm{define}\:\mathrm{speed},\:\mathrm{and}\:\mathrm{acceleration} \\ $$$$\mathrm{wich}\:\mathrm{are}\:\mathrm{the}\:\mathrm{fundamentals}\:\mathrm{of}\:\mathrm{physics} \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{You}\:\mathrm{can}\:\mathrm{do}\:\mathrm{infinite}\:\mathrm{sums}\:\mathrm{witch}\:\mathrm{is}\:\mathrm{essential}\:\mathrm{in} \\ $$$$\mathrm{may}\:\mathrm{calculations}\:\left(\mathrm{it}\:\mathrm{assures}\:\mathrm{you}\:\mathrm{that}\:\mathrm{things}\:\right. \\ $$$$\left.\mathrm{don}'\mathrm{t}\:\mathrm{blow}\:\mathrm{up}\right) \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{hope}\:\mathrm{this}\:\mathrm{answers}\:\mathrm{your}\:\mathrm{question} \\ $$$$\mathrm{also},\:\mathrm{I}\:\mathrm{skiped}\:\mathrm{over}\:\mathrm{this}\:\mathrm{because}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{technicaly} \\ $$$$\mathrm{not}\:\mathrm{the}\:\mathrm{same}\:\mathrm{thing},\:\mathrm{but}\:\mathrm{in}\:\mathrm{the}\:\mathrm{case}\:\mathrm{of}\:\mathrm{functions} \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{have}\:\mathrm{values}\:\mathrm{in}\:\mathbb{R}\:\left(\mathrm{so}\:\mathrm{not}\:\mathrm{every}\:\mathrm{function}\right) \\ $$$$\mathrm{you}\:\mathrm{can}\:\mathrm{define}\:``\mathrm{lim}_{{x}\rightarrow+\infty} ''\: \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{also}\:``=+\infty''\: \\ $$$$\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{bit}\:\mathrm{different}\:\mathrm{since}\:\infty\:\mathrm{is}\:\mathrm{not}\:\mathrm{a}\:\mathrm{number}\: \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{never}\:``{close}\:{to}\:{it}'' \\ $$$$\mathrm{but}\:\mathrm{the}\:\mathrm{idea}\:\mathrm{is}\:\mathrm{just}\:\mathrm{to}\:\mathrm{switch}\:\mathrm{the}\:``{getting}\:{close}\:{yo}'' \\ $$$$\mathrm{with}\:\mathrm{a}\:``{is}\:{never}\:{bounded}'' \\ $$$$\mathrm{I}\:\mathrm{live}\:\mathrm{it}\:\mathrm{yo}\:\mathrm{you}\:\mathrm{as}\:\mathrm{an}\:\mathrm{exercise}\:\mathrm{if}\:\mathrm{you}\:\mathrm{want}. \\ $$$$\left.:−\right) \\ $$ | ||
Commented by zakirullah last updated on 29/Sep/21 | ||
$$\mathrm{so}\:\mathrm{great}\:\mathrm{sir}!\:\mathrm{A}\:\mathrm{boundle}\:\mathrm{of}\:\mathrm{thanks}. \\ $$ | ||
Commented by TheHoneyCat last updated on 29/Sep/21 | ||
Your welcome | ||