Question Number 154385 by amin96 last updated on 17/Sep/21 | ||
$${if}\:\:\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}}−\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{36}}=\mathrm{3}\:\:\:\:\:\:{find}\:\:\:\:{x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}} \\ $$ | ||
Answered by amin96 last updated on 18/Sep/21 | ||
$${x}={t}^{\mathrm{3}} \:\:\:\Rightarrow\:\:\:{t}−\sqrt[{\mathrm{3}}]{{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{36}}=\mathrm{3}\:\:\Rightarrow\:\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{{t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{36}}={t}−\mathrm{3} \\ $$$${t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{36}={t}^{\mathrm{3}} −\mathrm{9}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{27}{t}−\mathrm{27}\:\:\Rightarrow\:\:{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{t}−\mathrm{1}=\mathrm{0} \\ $$$${t}−\frac{\mathrm{1}}{{t}}=\mathrm{3}\:\:\:\:{t}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{11}\:\:\Rightarrow\:\:\:\left({t}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} }\right)\left({t}−\frac{\mathrm{1}}{{t}}\right)=\mathrm{33} \\ $$$${t}^{\mathrm{3}} −{t}+\frac{\mathrm{1}}{{t}}−\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{3}} }=\mathrm{33}\:\:\Rightarrow\:\:\:{t}^{\mathrm{3}} −\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{3}} }=\mathrm{36}\:\:\:\:{x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{36} \\ $$ | ||
Answered by liberty last updated on 18/Sep/21 | ||
$$\:{If}\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}}−\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{36}}\:=\:\mathrm{3}\:{then} \\ $$$${find}\:{x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}. \\ $$$${solution}: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{3}+\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}−\mathrm{36}}−\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{27}+{x}−\mathrm{36}−{x}=−\mathrm{3}×\mathrm{3}\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}\left({x}−\mathrm{36}\right)} \\ $$$$\Rightarrow−\mathrm{9}=−\mathrm{9}\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{{x}\left({x}−\mathrm{36}\right)}\: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{1}={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{36}{x} \\ $$$$\Rightarrow\frac{\mathrm{1}}{{x}}={x}−\mathrm{36}\:\Rightarrow{x}−\frac{\mathrm{1}}{{x}}=\mathrm{36} \\ $$ | ||