Question Number 15300 by Tinkutara last updated on 09/Jun/17 | ||
$$\mathrm{Find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{values}\:\mathrm{of}\:\alpha\:\mathrm{and}\:\beta,\:\mathrm{0}\:<\:\alpha,\:\beta\:<\:\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\mathrm{satisfying}\:\mathrm{the}\:\mathrm{following}\:\mathrm{equation} \\ $$ $$\mathrm{cos}\:\alpha\:\mathrm{cos}\:\beta\:\mathrm{cos}\:\left(\alpha\:+\:\beta\right)\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:. \\ $$ | ||
Commented bymrW1 last updated on 09/Jun/17 | ||
$$\alpha=\beta=\frac{\pi}{\mathrm{3}} \\ $$ | ||
Commented bymrW1 last updated on 10/Jun/17 | ||
$$\mathrm{F}\left(\alpha,\beta\right)=\mathrm{cos}\:\alpha\:\mathrm{cos}\:\beta\:\mathrm{cos}\:\left(\alpha\:+\:\beta\right) \\ $$ $$\mathrm{let}'\mathrm{s}\:\mathrm{find}\:\mathrm{the}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{this}\:\mathrm{function} \\ $$ $$\frac{\partial\mathrm{F}}{\partial\alpha}=−\mathrm{sin}\:\alpha\:\mathrm{cos}\:\beta\:\mathrm{cos}\:\left(\alpha+\beta\right)−\mathrm{cos}\:\alpha\:\mathrm{cos}\:\beta\:\mathrm{sin}\:\left(\alpha+\beta\right) \\ $$ $$=−\mathrm{cos}\:\beta\:\left[\mathrm{sin}\:\alpha\:\mathrm{cos}\:\left(\alpha+\beta\right)+\mathrm{cos}\:\alpha\:\:\mathrm{sin}\:\left(\alpha+\beta\right)\right] \\ $$ $$=−\mathrm{cos}\:\beta\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\alpha+\beta\right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\:\mathrm{sin}\:\left(\mathrm{2}\alpha+\beta\right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\:\mathrm{2}\alpha+\beta=\pi\:\:\:\:\:\:...\left(\mathrm{i}\right) \\ $$ $$\frac{\partial\mathrm{F}}{\partial\beta}=−\mathrm{cos}\:\:\alpha\:\mathrm{sin}\:\beta\:\mathrm{cos}\:\left(\alpha+\beta\right)−\mathrm{cos}\:\alpha\:\mathrm{cos}\:\beta\:\mathrm{sin}\:\left(\alpha+\beta\right) \\ $$ $$=−\mathrm{cos}\:\alpha\:\left[\mathrm{sin}\:\beta\:\mathrm{cos}\:\left(\alpha+\beta\right)+\mathrm{cos}\:\beta\:\:\mathrm{sin}\:\left(\alpha+\beta\right)\right] \\ $$ $$=−\mathrm{cos}\:\alpha\:\mathrm{sin}\:\left(\alpha+\mathrm{2}\beta\right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\:\mathrm{sin}\:\left(\alpha+\mathrm{2}\beta\right)=\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\:\alpha+\mathrm{2}\beta=\pi\:\:\:\:\:\:...\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$ $$ \\ $$ $$\mathrm{from}\:\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{and}\:\left(\mathrm{ii}\right) \\ $$ $$\Rightarrow\alpha=\beta=\frac{\pi}{\mathrm{3}} \\ $$ $$\mathrm{minimum}\:=\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\frac{\pi}{\mathrm{3}}\:\mathrm{cos}\:\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$ $$\therefore\:\mathrm{for}\:\mathrm{cos}\:\alpha\:\mathrm{cos}\:\beta\:\mathrm{cos}\:\left(\alpha\:+\:\beta\right)\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\ $$ $$\mathrm{there}\:\mathrm{is}\:\mathrm{only}\:\mathrm{one}\:\mathrm{solution}: \\ $$ $$\alpha=\beta=\frac{\pi}{\mathrm{3}} \\ $$ | ||
Commented byTinkutara last updated on 10/Jun/17 | ||
$$\mathrm{Thanks}\:\mathrm{Sir}! \\ $$ | ||
Answered by Tinkutara last updated on 09/Jul/17 | ||
$$\mathrm{8}\:\mathrm{cos}\:\alpha\:\mathrm{cos}\:\beta\:\mathrm{cos}\:\left(\alpha\:+\:\beta\right)\:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{4}\:\mathrm{cos}\:\left(\alpha\:+\:\beta\right)\:\left[\mathrm{cos}\:\left(\alpha\:+\:\beta\right)\:+\:\mathrm{cos}\:\left(\alpha\:−\:\beta\right)\right]\:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{4}\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\left(\alpha\:+\:\beta\right)\:+\:\mathrm{4}\:\mathrm{cos}\:\left(\alpha\:+\:\beta\right)\:\mathrm{cos}\:\left(\alpha\:−\:\beta\right) \\ $$ $$+\:\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \:\left(\alpha\:−\:\beta\right)\:+\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\left(\alpha\:−\:\beta\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$ $$\left[\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\left(\alpha\:+\:\beta\right)\:+\:\mathrm{cos}\:\left(\alpha\:−\:\beta\right)\right]^{\mathrm{2}} \:+\:\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \:\left(\alpha\:−\:\beta\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{sin}\:\left(\alpha\:−\:\beta\right)\:=\:\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\left(\alpha\:+\:\beta\right)\:+\:\mathrm{cos}\:\left(\alpha\:−\:\beta\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$ $$\Rightarrow\:\alpha\:=\:\beta\:\mathrm{and}\:\mathrm{this}\:\mathrm{gives} \\ $$ $$\mathrm{2}\:\mathrm{cos}\:\mathrm{2}\alpha\:+\:\mathrm{1}\:=\:\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\alpha\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{3}},\:\mathrm{as}\:\mathrm{0}\:<\:\alpha,\:\beta\:<\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}. \\ $$ $$\mathrm{So}\:\boldsymbol{\alpha}\:=\:\boldsymbol{\beta}\:=\:\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{3}}. \\ $$ | ||