Question Number 152840 by liberty last updated on 02/Sep/21 | ||
Answered by MJS_new last updated on 04/Sep/21 | ||
$$\mathrm{transforming}\:\Rightarrow \\ $$$${x}^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}{x}^{\mathrm{2}} +\left({y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\right){x}−{y}\left(\mathrm{3}{y}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{{y}}{x}+{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$${y}={px}\:\mathrm{and}\:\mathrm{transforming}\:\Rightarrow \\ $$$${x}\left({x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}−\frac{{p}−\mathrm{3}}{{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)=\mathrm{0}\:\left[{x}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\:{y}=\mathrm{0}\:\mathrm{not}\:\mathrm{possible}\right] \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}{p}+\mathrm{1}}{{p}\left({p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{x}−\frac{{p}−\mathrm{3}}{{p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}=\mathrm{0} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{3}{p}+\mathrm{1}}{{p}\left({p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{substracting}\:\mathrm{and}\:\mathrm{solving}\:\mathrm{for}\:{x}\:\Rightarrow \\ $$$${x}=−\frac{{p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{p}−\mathrm{1}}{\mathrm{3}{p}\left({p}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{inserting}\:\mathrm{and}\:\mathrm{transforming}\:\Rightarrow \\ $$$${p}^{\mathrm{6}} −\frac{\mathrm{135}}{\mathrm{26}}{p}^{\mathrm{5}} −\frac{\mathrm{159}}{\mathrm{26}}{p}^{\mathrm{4}} +\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{13}}{p}^{\mathrm{3}} +\frac{\mathrm{12}}{\mathrm{13}}{p}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{26}}{p}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{26}}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({p}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)\left({p}+\mathrm{1}\right)\left({p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{p}−\mathrm{1}\right)\left({p}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{13}}{p}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{13}}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow \\ $$$${p}=−\mathrm{1}\:\Rightarrow\:{x}=\mathrm{1}\wedge{y}=−\mathrm{1}\:\bigstar \\ $$$${p}=\mathrm{3}−\sqrt{\mathrm{10}}\:\Rightarrow\:{x}={y}=\mathrm{0}\:\mathrm{impossible} \\ $$$${p}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:{x}=\mathrm{2}\wedge{y}=\mathrm{1}\:\bigstar \\ $$$${p}=\mathrm{3}+\sqrt{\mathrm{10}}\:\Rightarrow\:{x}={y}=\mathrm{0}\:\mathrm{impossible} \\ $$$${p}=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{13}}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{13}}\mathrm{i}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}−\mathrm{i}\wedge{y}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\:\bigstar \\ $$$${p}=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{13}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{13i}}\:\Rightarrow\:{x}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}+\mathrm{i}\wedge{y}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}\:\bigstar \\ $$ | ||