Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

Others Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in Others      Next in Others      

Question Number 147176 by Lewis junior last updated on 18/Jul/21

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 18/Jul/21

(1)  (a) Soit x∈R_+ ^∗ .    −Etude de F :     La fonction ϕ : t⇝((e^(−xt) sint)/t) est continue  par morceaux sur ]0;+∞[.    En 0 : ∣((e^(−xt) sint)/t)∣ ∼ e^(−xt)  →_(t→0)  1 donc la  fonction ϕ est prolongeable par  continuite en 0 et l′integrale converge.    En +∞ : la fonction sin est de classe C^1   sur R_+  et sa derivee est cos, qui est   bornee (en valeurs absolues) par 1.  Donc l′inegalite des accroissements  finis entre 0 et t∈R_+ ^∗  s′ecrit  ∣sin(t) − sin(0)∣≤ 1×∣t−0∣  Ainsi, en divisant par t > 0 : ((∣sint∣)/t) ≤ 1  Et donc ∣ϕ(t)∣ ≤ e^(−xt) , qui est integrable  au voisinage de +∞, d′apres les criteres  des exponentielles (x>0).  Conclusion : l′integrale ∫_0 ^(+∞) ((e^(−xt) sint)/t)dt  est absolument convergente, donc  convergente, et F(x) existe. F est  definie sur R_+ ^∗ .    (b) Soit a un reel strictement positif.  Appliquons le theoreme de Leibniz  de derivation des integrales dependant  d′un parametre sur l′intervalle  D = [a;+∞[, qui nous donne  directement que la fonction est de   classe C^1  (et donc continue).    Soit h : [a;+∞[×]0;+∞[→R definie par  h(x,t) = ((e^(−xt) sint)/t)     −Pour tout t∈]0;+∞[, la fonction  x⇝h(x,t) est C^1   sur [a;+∞[ car  l′exponentielle l′est.  −Pour tout x∈[a;+∞[, la fonction  t⇝h(x,t) est integrable  sur ]0;+∞[  d′apres la question (a).  −Pour tout x∈[a;+∞[, la fonction  t⇝(∂h/∂x)(x,t) = ((−te^(−xt) sint)/t) = −e^(xt) sint est  continue par morceaux sur ]0;+∞[.  −La fonction ϕ(t) = e^(−at) est integrable  sur ]0;+∞[ d′apres le critere des  exponentielles (a>0) et  ∀ (x,t)[a;∞[×∈]0;+∞[  ∣(∂h/∂x)(x,t)∣ = ∣sint∣e^(−xt)  ≤ e^(−at)  = ϕ(t)  Donc, d′apres le theoreme de derivation,  la fonction F est de classe C^1  sur  [a;+∞[ et F′(x)  = −∫_0 ^∞ e^(−xt) sint dt    (c)  Nous avons vu que ∣((e^(−xt) sint)/t)∣ ≤ e^(−xt)   Donc ∣F(x)∣ ≤ ∫_0 ^(+∞) ∣((e^(−xt) sint)/t)∣ dt  ≤ ∫_0 ^(+∞) e^(−xt)  dt = (1/x) →_(x→+∞)  0  Par majoration lim_(x→+∞)  F(x) = 0    ...to be continued...

$$\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{a}\right)\:\mathrm{Soit}\:{x}\in\mathbb{R}_{+} ^{\ast} . \\ $$$$ \\ $$$$−\mathrm{Etude}\:\mathrm{de}\:\mathrm{F}\:: \\ $$$$ \\ $$$$\:\mathrm{La}\:\mathrm{fonction}\:\varphi\::\:{t}\rightsquigarrow\frac{{e}^{−{xt}} \mathrm{sin}{t}}{{t}}\:\mathrm{est}\:\mathrm{continue} \\ $$$$\left.\mathrm{par}\:\mathrm{morceaux}\:\mathrm{sur}\:\right]\mathrm{0};+\infty\left[.\right. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{En}\:\mathrm{0}\::\:\mid\frac{{e}^{−{xt}} \mathrm{sin}{t}}{{t}}\mid\:\sim\:{e}^{−{xt}} \:\underset{{t}\rightarrow\mathrm{0}} {\rightarrow}\:\mathrm{1}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{la} \\ $$$$\mathrm{fonction}\:\varphi\:\mathrm{est}\:\mathrm{prolongeable}\:\mathrm{par} \\ $$$$\mathrm{continuite}\:\mathrm{en}\:\mathrm{0}\:\mathrm{et}\:\mathrm{l}'\mathrm{integrale}\:\mathrm{converge}. \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{En}\:+\infty\::\:\mathrm{la}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{sin}\:\mathrm{est}\:\mathrm{de}\:\mathrm{classe}\:\mathscr{C}^{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{sur}\:\mathbb{R}_{+} \:\mathrm{et}\:\mathrm{sa}\:\mathrm{derivee}\:\mathrm{est}\:\mathrm{cos},\:\mathrm{qui}\:\mathrm{est} \\ $$$$\:\mathrm{bornee}\:\left(\mathrm{en}\:\mathrm{valeurs}\:\mathrm{absolues}\right)\:\mathrm{par}\:\mathrm{1}. \\ $$$$\mathrm{Donc}\:\mathrm{l}'\mathrm{inegalite}\:\mathrm{des}\:\mathrm{accroissements} \\ $$$$\mathrm{finis}\:\mathrm{entre}\:\mathrm{0}\:\mathrm{et}\:{t}\in\mathbb{R}_{+} ^{\ast} \:\mathrm{s}'\mathrm{ecrit} \\ $$$$\mid\mathrm{sin}\left(\mathrm{t}\right)\:−\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{0}\right)\mid\leqslant\:\mathrm{1}×\mid{t}−\mathrm{0}\mid \\ $$$$\mathrm{Ainsi},\:\mathrm{en}\:\mathrm{divisant}\:\mathrm{par}\:{t}\:>\:\mathrm{0}\::\:\frac{\mid\mathrm{sin}{t}\mid}{{t}}\:\leqslant\:\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{Et}\:\mathrm{donc}\:\mid\varphi\left({t}\right)\mid\:\leqslant\:{e}^{−{xt}} ,\:\mathrm{qui}\:\mathrm{est}\:\mathrm{integrable} \\ $$$$\mathrm{au}\:\mathrm{voisinage}\:\mathrm{de}\:+\infty,\:\mathrm{d}'\mathrm{apres}\:\mathrm{les}\:\mathrm{criteres} \\ $$$$\mathrm{des}\:\mathrm{exponentielles}\:\left({x}>\mathrm{0}\right). \\ $$$$\mathrm{Conclusion}\::\:\mathrm{l}'\mathrm{integrale}\:\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \frac{{e}^{−{xt}} \mathrm{sin}{t}}{{t}}{dt} \\ $$$$\mathrm{est}\:\mathrm{absolument}\:\mathrm{convergente},\:\mathrm{donc} \\ $$$$\mathrm{convergente},\:\mathrm{et}\:\mathrm{F}\left({x}\right)\:\mathrm{existe}.\:\mathrm{F}\:\mathrm{est} \\ $$$$\mathrm{definie}\:\mathrm{sur}\:\mathbb{R}_{+} ^{\ast} . \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{b}\right)\:\mathrm{Soit}\:{a}\:\mathrm{un}\:\mathrm{reel}\:\mathrm{strictement}\:\mathrm{positif}. \\ $$$$\mathrm{Appliquons}\:\mathrm{le}\:\mathrm{theoreme}\:\mathrm{de}\:\mathrm{Leibniz} \\ $$$$\mathrm{de}\:\mathrm{derivation}\:\mathrm{des}\:\mathrm{integrales}\:\mathrm{dependant} \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{un}\:\mathrm{parametre}\:\mathrm{sur}\:\mathrm{l}'\mathrm{intervalle} \\ $$$${D}\:=\:\left[{a};+\infty\left[,\:\mathrm{qui}\:\mathrm{nous}\:\mathrm{donne}\right.\right. \\ $$$$\mathrm{directement}\:\mathrm{que}\:\mathrm{la}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{est}\:\mathrm{de}\: \\ $$$$\mathrm{classe}\:\mathscr{C}^{\mathrm{1}} \:\left(\mathrm{et}\:\mathrm{donc}\:\mathrm{continue}\right). \\ $$$$ \\ $$$$\mathrm{Soit}\:{h}\::\:\left[{a};+\infty\left[×\right]\mathrm{0};+\infty\left[\rightarrow\mathbb{R}\:\mathrm{definie}\:\mathrm{par}\right.\right. \\ $$$${h}\left({x},{t}\right)\:=\:\frac{{e}^{−{xt}} \mathrm{sin}{t}}{{t}} \\ $$$$\: \\ $$$$\left.−\mathrm{Pour}\:\mathrm{tout}\:{t}\in\right]\mathrm{0};+\infty\left[,\:\mathrm{la}\:\mathrm{fonction}\right. \\ $$$${x}\rightsquigarrow{h}\left({x},{t}\right)\:\mathrm{est}\:\mathscr{C}^{\mathrm{1}} \:\:\mathrm{sur}\:\left[{a};+\infty\left[\:\mathrm{car}\right.\right. \\ $$$$\mathrm{l}'\mathrm{exponentielle}\:\mathrm{l}'\mathrm{est}. \\ $$$$−\mathrm{Pour}\:\mathrm{tout}\:{x}\in\left[{a};+\infty\left[,\:\mathrm{la}\:\mathrm{fonction}\right.\right. \\ $$$$\left.{t}\rightsquigarrow{h}\left({x},{t}\right)\:\mathrm{est}\:\mathrm{integrable}\:\:\mathrm{sur}\:\right]\mathrm{0};+\infty\left[\right. \\ $$$$\mathrm{d}'\mathrm{apres}\:\mathrm{la}\:\mathrm{question}\:\left(\mathrm{a}\right). \\ $$$$−\mathrm{Pour}\:\mathrm{tout}\:{x}\in\left[{a};+\infty\left[,\:\mathrm{la}\:\mathrm{fonction}\right.\right. \\ $$$${t}\rightsquigarrow\frac{\partial{h}}{\partial{x}}\left({x},{t}\right)\:=\:\frac{−{te}^{−{xt}} \mathrm{sin}{t}}{{t}}\:=\:−{e}^{{xt}} \mathrm{sin}{t}\:\mathrm{est} \\ $$$$\left.\mathrm{continue}\:\mathrm{par}\:\mathrm{morceaux}\:\mathrm{sur}\:\right]\mathrm{0};+\infty\left[.\right. \\ $$$$−\mathrm{La}\:\mathrm{fonction}\:\varphi\left({t}\right)\:=\:{e}^{−{at}} \mathrm{est}\:\mathrm{integrable} \\ $$$$\left.\mathrm{sur}\:\right]\mathrm{0};+\infty\left[\:\mathrm{d}'\mathrm{apres}\:\mathrm{le}\:\mathrm{critere}\:\mathrm{des}\right. \\ $$$$\mathrm{exponentielles}\:\left({a}>\mathrm{0}\right)\:\mathrm{et} \\ $$$$\forall\:\left({x},{t}\right)\left[{a};\infty\left[×\in\right]\mathrm{0};+\infty\left[\right.\right. \\ $$$$\mid\frac{\partial{h}}{\partial{x}}\left({x},{t}\right)\mid\:=\:\mid\mathrm{sin}{t}\mid{e}^{−{xt}} \:\leqslant\:{e}^{−{at}} \:=\:\varphi\left({t}\right) \\ $$$$\mathrm{Donc},\:\mathrm{d}'\mathrm{apres}\:\mathrm{le}\:\mathrm{theoreme}\:\mathrm{de}\:\mathrm{derivation}, \\ $$$$\mathrm{la}\:\mathrm{fonction}\:\mathrm{F}\:\mathrm{est}\:\mathrm{de}\:\mathrm{classe}\:\mathscr{C}^{\mathrm{1}} \:\mathrm{sur} \\ $$$$\left[{a};+\infty\left[\:\mathrm{et}\:\mathrm{F}'\left({x}\right)\:\:=\:−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {e}^{−{xt}} \mathrm{sin}{t}\:{dt}\right.\right. \\ $$$$ \\ $$$$\left(\mathrm{c}\right) \\ $$$$\mathrm{Nous}\:\mathrm{avons}\:\mathrm{vu}\:\mathrm{que}\:\mid\frac{{e}^{−{xt}} \mathrm{sin}{t}}{{t}}\mid\:\leqslant\:{e}^{−{xt}} \\ $$$$\mathrm{Donc}\:\mid\mathrm{F}\left({x}\right)\mid\:\leqslant\:\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} \mid\frac{{e}^{−{xt}} \mathrm{sin}{t}}{{t}}\mid\:{dt} \\ $$$$\leqslant\:\int_{\mathrm{0}} ^{+\infty} {e}^{−{xt}} \:{dt}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{{x}}\:\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\rightarrow}\:\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{Par}\:\mathrm{majoration}\:\underset{{x}\rightarrow+\infty} {\mathrm{lim}}\:\mathrm{F}\left({x}\right)\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$ \\ $$$$...\mathrm{to}\:\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$$$ \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com