Question Number 144532 by EDWIN88 last updated on 26/Jun/21 | ||
$$\mathrm{A}\:\mathrm{rectangular}\:\mathrm{box},\mathrm{open}\:\mathrm{at}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{top}\:\mathrm{is}\:\mathrm{to}\:\mathrm{have}\:\mathrm{a}\:\mathrm{volume}\:\mathrm{of}\:\mathrm{32}\:\mathrm{cube}\:\mathrm{feet} \\ $$$$\mathrm{What}\:\mathrm{must}\:\mathrm{be}\:\mathrm{the}\:\mathrm{dimensions} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{total}\:\mathrm{surface}\:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{minimum}? \\ $$ | ||
Answered by liberty last updated on 26/Jun/21 | ||
$$\mathrm{volume}\:\mathrm{of}\:\mathrm{box}\:=\:\mathrm{V}=\mathrm{xyz}\:=\:\mathrm{32} \\ $$$$\:\mathrm{and}\:\mathrm{z}\:=\:\frac{\mathrm{32}}{\mathrm{xy}} \\ $$$$\mathrm{surface}\:\mathrm{area}\:\mathrm{of}\:\mathrm{box}\:=\mathrm{S}=\mathrm{xy}+\mathrm{2yz}+\mathrm{2xz} \\ $$$$\:\begin{cases}{\frac{\partial\mathrm{S}}{\partial\mathrm{x}}=\mathrm{y}−\frac{\mathrm{64}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{0}\:\mathrm{when}\:\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}=\mathrm{64}}\\{\frac{\partial\mathrm{S}}{\partial\mathrm{y}}=\mathrm{x}−\frac{\mathrm{64}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{0}\:\mathrm{when}\:\mathrm{xy}^{\mathrm{2}} =\mathrm{64}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{so}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{y}=\mathrm{x}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}^{\mathrm{3}} =\mathrm{64}\:\mathrm{or}\: \\ $$$$\mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{4}\:\mathrm{and}\:\mathrm{z}=\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{x}=\mathrm{y}=\mathrm{4}\:,\Delta=\mathrm{S}_{\mathrm{xx}} \mathrm{S}_{\mathrm{yy}} −\mathrm{S}_{\mathrm{xy}} ^{\mathrm{2}} \\ $$$$\Delta\:=\:\left(\frac{\mathrm{128}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }\right)\left(\frac{\mathrm{128}}{\mathrm{y}^{\mathrm{3}} }\right)−\mathrm{1}>\mathrm{0}\: \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{S}_{\mathrm{xx}} =\:\frac{\mathrm{128}}{\mathrm{x}^{\mathrm{3}} }>\mathrm{0}\:\mathrm{hence}\:\mathrm{it}\:\mathrm{follows} \\ $$$$\mathrm{that}\:\mathrm{the}\:\mathrm{dimensions}\:\mathrm{4}\:\mathrm{feet}\:×\:\mathrm{4}\:\mathrm{feet}\:×\mathrm{2}\:\mathrm{feet} \\ $$$$\mathrm{give}\:\mathrm{the}\:\mathrm{minimum}\:\mathrm{surface} \\ $$ | ||