Question Number 138628 by mohammad17 last updated on 15/Apr/21 | ||
$${find}\:{the}\:{region}\:{in}\:{which}\:{the}\:{function}\: \\ $$$$ \\ $$$${f}\left({z}\right)=\frac{{log}\left({z}−\mathrm{2}{i}\right)}{{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\:{is}\:{analytic}\:? \\ $$$$ \\ $$$${help}\:{me}\:{sir}\: \\ $$ | ||
Commented by mohammad17 last updated on 16/Apr/21 | ||
$$????? \\ $$ | ||
Answered by mathmax by abdo last updated on 17/Apr/21 | ||
$$\mathrm{let}\:\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{iy}\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{z}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{iy}\right)\:=\mathrm{u}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)+\mathrm{iv}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right) \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}+\mathrm{iy}\right)=\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+\mathrm{iy}−\mathrm{2i}\right)}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{iy}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{x}+\mathrm{i}\left(\mathrm{y}−\mathrm{2}\right)\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2ixy}−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{log}\left(\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{y}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\right)} \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}+\mathrm{2ixy}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{y}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\:+\mathrm{2ixy}} \\ $$$$+\frac{\mathrm{iarctan}\left(\frac{\mathrm{y}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}+\mathrm{2ixy}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{log}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{y}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}−\mathrm{2ixy}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$+\mathrm{i}\:\frac{\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{y}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}−\mathrm{2ixy}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{log}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{y}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{2i}\frac{\mathrm{xylog}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{y}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$+\mathrm{i}\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{y}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{2xyarctan}\left(\frac{\left.\mathrm{y}−\mathrm{2}\right)}{\mathrm{x}}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{u}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{log}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{y}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{2xyarctan}\left(\frac{\mathrm{y}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{v}\left(\mathrm{x},\mathrm{y}\right)=\frac{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{y}−\mathrm{2}}{\mathrm{x}}\right)−\mathrm{2xylog}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{y}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} \right)}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{after}\:\mathrm{we}\:\mathrm{apply}\:\mathrm{cauchy}\:\mathrm{conditions}\:\frac{\partial\mathrm{u}}{\partial\mathrm{x}}=\frac{\partial\mathrm{v}}{\partial\mathrm{y}}\:\mathrm{and}\:\frac{\partial\mathrm{u}}{\partial\mathrm{y}}=−\frac{\partial\mathrm{v}}{\partial\mathrm{x}} \\ $$$$..... \\ $$ | ||