Question Number 137973 by mnjuly1970 last updated on 08/Apr/21 | ||
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:.......{Advanced}\:...\:...\:...\:...\:{Calculus}....... \\ $$$$\:\:\:\:{prove}\:{that}::: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\phi}=\int_{\mathrm{0}} ^{\:\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}β{x}\right)}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }{dx}=\frac{\pi}{\mathrm{8}}{ln}\left(\mathrm{2}\right)β{G}\:...\checkmark \\ $$$$\:\:\:\:{where}\:\:{G}\:{is}\:{catalan}\:{number}... \\ $$$$\:\:\: \\ $$ | ||
Answered by EnterUsername last updated on 08/Apr/21 | ||
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{ln}\left(\mathrm{1}β{x}\right)}{\mathrm{1}+{x}^{\mathrm{2}} }{dx}=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} {ln}\left(\mathrm{1}β{tan}\theta\right){d}\theta \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} {ln}\left({cosx}β{sinx}\right){dx}β\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} {lncosxdx} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} {ln}\left[\sqrt{\mathrm{2}}{cos}\left({x}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)\right]{dx}β\left(\frac{{G}}{\mathrm{2}}β\frac{\pi{ln}\mathrm{2}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{8}}{ln}\mathrm{2}+\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} {ln}\left({sinx}\right){dx}β\left(\frac{{G}}{\mathrm{2}}β\frac{\pi{ln}\mathrm{2}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{8}}{ln}\mathrm{2}β\frac{{G}}{\mathrm{2}}β\frac{\pi{ln}\mathrm{2}}{\mathrm{4}}β\left(\frac{{G}}{\mathrm{2}}β\frac{\pi{ln}\mathrm{2}}{\mathrm{4}}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{8}}{ln}\mathrm{2}β{G} \\ $$ | ||
Commented by mnjuly1970 last updated on 08/Apr/21 | ||
$$\:{grateful}... \\ $$ | ||
Answered by mathmax by abdo last updated on 09/Apr/21 | ||
$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{ax}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ax}+\mathrm{1}β\mathrm{1}}{\left(\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\left[\mathrm{arctanx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{4a}}β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\alpha}{\mathrm{ax}+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{mx}+\mathrm{n}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$\alpha=\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{1}}\:=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{xF}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}=\frac{\alpha}{\mathrm{a}}\:+\mathrm{m}\:\Rightarrow\mathrm{m}=β\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{o}\right)=\mathrm{1}=\alpha+\mathrm{n}\:\Rightarrow\mathrm{n}=\mathrm{1}β\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$+\frac{β\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{ax}+\mathrm{1}} \\ $$$$β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ax}β\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\left[\mathrm{ln}\left(\mathrm{ax}+\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} β\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx} \\ $$$$+\frac{\pi}{\mathrm{4}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{aln}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:β\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\pi}{\mathrm{4}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{4a}}β\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:β\frac{\pi}{\mathrm{4a}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{4a}}\left(\mathrm{1}β\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)β\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\pi\mathrm{a}}{\mathrm{4}}β\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\mathrm{da}\:=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{ada}\:β\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{da}+\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{da}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{4}}Γ\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:β\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:+\frac{\mathrm{ln2}}{\mathrm{2}}.\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\ $$$$=\frac{\pi}{\mathrm{8}}β\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}+\frac{\pi}{\mathrm{8}}\mathrm{ln2}\:\:=\mathrm{f}\left(\mathrm{1}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=\frac{\pi}{\mathrm{8}}+\frac{\pi}{\mathrm{8}}\mathrm{ln2}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:=\frac{\pi}{\mathrm{16}}+\frac{\pi}{\mathrm{16}}\mathrm{ln2}\:\:? \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{we}\:\mathrm{want}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}β\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)}{\boldsymbol{\mathrm{x}}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\boldsymbol{\mathrm{dx}}\:\boldsymbol{\mathrm{we}}\:\boldsymbol{\mathrm{use}}\:\boldsymbol{\mathrm{the}}\:\boldsymbol{\mathrm{parametric}} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{f}}\left(\boldsymbol{\mathrm{a}}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}β\mathrm{ax}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}....\mathrm{be}\:\mathrm{continued}.... \\ $$$$ \\ $$ | ||