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Question Number 133353 by Ahmed1hamouda last updated on 21/Feb/21 | ||
Commented by Ahmed1hamouda last updated on 21/Feb/21 | ||
$$\:\boldsymbol{{solve}}\:\boldsymbol{{the}}\:\boldsymbol{{differential}}\:\boldsymbol{{equation}}\mathrm{s} \\ $$ | ||
Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Feb/21 | ||
$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{y}^{''} +\mathrm{y}^{'} +\mathrm{y}=\left(\mathrm{1}+\mathrm{sinx}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left.\mathrm{h}\right)\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{r}+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\rightarrow\Delta=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{a}\:\mathrm{e}^{\left(\frac{−\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{\left(\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{x}} \:=\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left\{\alpha\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)+\beta\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\right\} \\ $$$$=\alpha\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \:+\beta\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)=\begin{vmatrix}{\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)}\\{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\right)\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\right.}\end{vmatrix} \\ $$$$=\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left\{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\right\} \\ $$$$−\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left\{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\right\} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)}\\{\left(\mathrm{1}+\mathrm{sinx}\right)^{\mathrm{2}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\right.}\end{vmatrix} \\ $$$$=−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{sinx}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(....\right)\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{sinx}\right)^{\mathrm{2}} }\end{vmatrix} \\ $$$$=\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\left(\mathrm{1}+\mathrm{sinx}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right) \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=−\int\:\:\:\frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{sinx}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)}{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} } \\ $$$$=−\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{sinx}\right)^{\mathrm{2}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{2sinx}\:+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\left.=−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left\{\mathrm{3}+\mathrm{4sinx}\:−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\right\}\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=−\sqrt{\mathrm{3}}\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}−\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{sinx}\:\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=.... \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=\int\:\frac{\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{sinx}\right)^{\mathrm{2}} \mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)}{\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}+\mathrm{2sinx}\:+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}\int\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{3}+\mathrm{4sinx}−\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\mathrm{cos}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\right)\mathrm{dx}=..... \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{p}} \:+\mathrm{y}_{\mathrm{h}} \\ $$ | ||