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Question Number 130875 by EDWIN88 last updated on 30/Jan/21 | ||
Answered by benjo_mathlover last updated on 30/Jan/21 | ||
$$\mathrm{y}''−\left(\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{y}'+\left(\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{y}=\mathrm{0} \\ $$$$\:\mathrm{y}_{\mathrm{2}} '\mathrm{y}_{\mathrm{1}} −\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} '=\mathrm{Ce}^{−\int\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \mathrm{dx}} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{y}_{\mathrm{2}} '\mathrm{y}_{\mathrm{1}} −\mathrm{y}_{\mathrm{2}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} '}{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }\mathrm{Ce}^{−\int\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{dx}} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\frac{\mathrm{y}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} }\right)\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{Ce}^{−\int\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{dx}} \\ $$$$\:\frac{\mathrm{y}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} }\:=\:\int\:\frac{\mathrm{Ce}^{−\int\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{dx}} }{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:\:;\:\mathrm{y}_{\mathrm{2}} =\mathrm{y}_{\mathrm{1}} \int\:\frac{\mathrm{Ce}^{−\int\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{dx}} }{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx} \\ $$$$\:\mathrm{y}=\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} +\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \mathrm{y}_{\mathrm{1}} \int\:\frac{\mathrm{e}^{−\int\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \:\mathrm{dx}} }{\mathrm{y}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx} \\ $$$$\:\mathrm{in}\:\mathrm{this}\:\mathrm{case}\:\mathrm{this}\:\mathrm{eq}\:\mathrm{has}\:\mathrm{a}\:\mathrm{particular}\:\mathrm{solution} \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{1}} =\mathrm{x}\:\mathrm{then}\:\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{2x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{so}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\: \\ $$$$\:\mathrm{y}=\mathrm{x}\:\int\:\frac{\mathrm{e}^{\int\:\frac{\mathrm{2x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:=\:\mathrm{x}\int\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)} }{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx} \\ $$$$\:\mathrm{y}=\:\mathrm{x}\:\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}\:=\:\mathrm{x}\:\int\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$\:\mathrm{y}\:=\:\mathrm{x}\left(\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\mid\frac{\mathrm{1}+\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:\mid\right) \\ $$$$\mathcal{G}\mathrm{eneral}\:\mathrm{solution}\: \\ $$$$\:\mathrm{y}=\:\mathrm{C}_{\mathrm{1}} \mathrm{x}+\:\mathrm{C}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{xln}\:\mid\frac{\mathrm{1}+\mathrm{x}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:\mid−\mathrm{1}\right)\: \\ $$ | ||
Commented by EDWIN88 last updated on 30/Jan/21 | ||
$${nice}. \\ $$ | ||