Question Number 130849 by TITA last updated on 29/Jan/21 | ||
Commented by Ñï= last updated on 29/Jan/21 | ||
Answered by EDWIN88 last updated on 30/Jan/21 | ||
$$−\mathrm{2}{y}=−\mathrm{2}{a}\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{b}\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:{y}'=−\mathrm{2}{a}\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{2}{b}\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x} \\ $$$$\:\underline{\:\:\:\:{y}''=−\mathrm{4}{a}\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}−\mathrm{4}{b}\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\:}\:+ \\ $$$$\:\left(−\mathrm{6}{a}+\mathrm{2}{b}\right)\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}+\left(−\mathrm{2}{a}−\mathrm{6}{b}\right)\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}=\:\mathrm{6cos}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{0sin}\:\mathrm{2}{x} \\ $$$$\begin{cases}{−\mathrm{2}{a}−\mathrm{6}{b}=\mathrm{0}\Rightarrow{a}=−\mathrm{3}{b}}\\{−\mathrm{6}{a}+\mathrm{2}{b}=\mathrm{6};\:{b}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}}\:\wedge\:{a}=−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}}\end{cases} \\ $$$${particular}\:{solution}: \\ $$$${y}_{{p}} =\:−\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\mathrm{cos}\:\mathrm{2}{x}\:+\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{10}}\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}\: \\ $$$$ \\ $$ | ||
Answered by mathmax by abdo last updated on 30/Jan/21 | ||
$$\mathrm{xy}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{'} −\mathrm{2y}^{\mathrm{3}\:} =\mathrm{x}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{z}=\mathrm{y}^{\mathrm{3}} \:\Rightarrow\mathrm{z}^{'} \:=\mathrm{3y}^{\mathrm{2}} \mathrm{y}^{'} \\ $$$$\mathrm{e}\Rightarrow\mathrm{x}\left(\frac{\mathrm{z}^{'} }{\mathrm{3}}\right)−\mathrm{2z}=\mathrm{x}\:\Rightarrow\mathrm{xz}^{'} −\mathrm{6z}=\mathrm{3x} \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{xz}^{'} −\mathrm{6z}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{xz}^{'} \:=\mathrm{6z}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{z}^{'} }{\mathrm{z}}=\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{x}}\:\Rightarrow\mathrm{lnz}=\mathrm{6ln}\mid\mathrm{x}\mid\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{z}=\mathrm{k}\:\mathrm{x}^{\mathrm{6}} \\ $$$$\mathrm{mvc}\:\mathrm{method}\:\rightarrow\mathrm{z}^{'} \:=\mathrm{k}^{'} \:\mathrm{x}^{\mathrm{6}} \:+\mathrm{6k}\:\mathrm{x}^{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{e}\rightarrow\mathrm{k}^{'} \mathrm{x}^{\mathrm{7}} \:+\mathrm{6kx}^{\mathrm{6}} −\mathrm{6kx}^{\mathrm{6}} \:=\mathrm{3x}\:\Rightarrow\mathrm{k}^{'} \:=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} }\:\Rightarrow\mathrm{k}\:=\mathrm{3}\int\:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} }\:=\mathrm{3}\int\:\mathrm{x}^{−\mathrm{6}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{3}×\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{5}}\mathrm{x}^{−\mathrm{5}} \:+\lambda\:=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5x}^{\mathrm{5}} }+\lambda\:\Rightarrow\mathrm{z}\left(\mathrm{x}\right)=\left(−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5x}^{\mathrm{5}} }+\lambda\right)\mathrm{x}^{\mathrm{6}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\mathrm{x}+\lambda\mathrm{x}^{\mathrm{6}} \:\:\:\Rightarrow\mathrm{y}\:=^{\mathrm{3}} \sqrt{\mathrm{z}\left(\mathrm{x}\right)}=^{\mathrm{3}} \sqrt{\lambda\mathrm{x}^{\mathrm{6}} −\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{5}}\mathrm{x}} \\ $$ | ||
Answered by mathmax by abdo last updated on 30/Jan/21 | ||
$$\left.\mathrm{2}\right)\:\mathrm{y}^{''} \:+\mathrm{y}−\mathrm{2}=\mathrm{6cos}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\mathrm{h}\rightarrow\mathrm{r}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{r}−\mathrm{2}=\mathrm{0}\:\rightarrow\Delta=\mathrm{9}\:\Rightarrow\mathrm{r}_{\mathrm{1}} =\frac{−\mathrm{1}+\mathrm{3}}{\mathrm{2}}=\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{r}_{\mathrm{2}} =\frac{−\mathrm{1}−\mathrm{3}}{\mathrm{2}}=−\mathrm{2}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{h}} =\mathrm{ae}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{2x}} \:=\mathrm{au}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{bu}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{W}\left(\mathrm{u}_{\mathrm{1}} ,\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \right)=\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\\{\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:−\mathrm{2e}^{−\mathrm{2x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{2e}^{−\mathrm{x}} −\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:=−\mathrm{3e}^{−\mathrm{x}} \:\neq\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{1}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{o}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} }\\{\mathrm{6cos}\left(\mathrm{2x}\right)\:\:\:\:\:−\mathrm{2e}^{−\mathrm{2x}} }\end{vmatrix}=−\mathrm{6e}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\mathrm{W}_{\mathrm{2}} =\begin{vmatrix}{\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{0}}\\{−\mathrm{2e}^{−\mathrm{x}} \:\:\:\:\:\mathrm{6cos}\left(\mathrm{2x}\right)}\end{vmatrix}=\mathrm{6e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{1}} =\int\:\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=−\mathrm{6}\int\:\:\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{2x}} \mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)}{−\mathrm{3e}^{−\mathrm{x}} }\mathrm{dx}\:=\mathrm{2}\int\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{2}\:\mathrm{Re}\left(\int\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}+\mathrm{2ix}} \mathrm{dx}\right)\:\mathrm{and}\:\int\:\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{−\mathrm{1}+\mathrm{2i}}\mathrm{e}^{\left(−\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\mathrm{x}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{2i}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\:=−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{5}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{2i}\right)\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{2x}\right)\right) \\ $$$$=−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} }{\mathrm{5}}\left\{\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{isin}\left(\mathrm{2x}\right)+\mathrm{2icos}\left(\mathrm{2x}\right)−\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right\}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{v}_{\mathrm{1}} =−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)−\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right) \\ $$$$\mathrm{V}_{\mathrm{2}} =\int\:\frac{\mathrm{W}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{W}}\mathrm{dx}\:=\int\frac{\mathrm{6e}^{−\mathrm{2x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}}{−\mathrm{3e}^{−\mathrm{x}} }\mathrm{dx} \\ $$$$=−\mathrm{2}\int\:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \:\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)−\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{u}_{\mathrm{1}} \mathrm{v}_{\mathrm{1}} \:+\mathrm{u}_{\mathrm{2}} \mathrm{v}_{\mathrm{2}} =−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)−\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right)+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \left(\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)−\mathrm{2sin}\left(\mathrm{2x}\right)\right) \\ $$$$=\left(−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right)+\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$\mathrm{general}\:\mathrm{solution}\:\mathrm{is} \\ $$$$\mathrm{y}\:=\mathrm{y}_{\mathrm{h}} +\mathrm{y}_{\mathrm{p}} =\mathrm{ae}^{\mathrm{x}} \:+\mathrm{be}^{−\mathrm{2x}} \:+\left(−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}}\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$$$+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\mathrm{3x}} \right)\mathrm{sin}\left(\mathrm{2x}\right) \\ $$ | ||