Integration Questions

Question Number 130594 by Lordose last updated on 27/Jan/21

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{6}} }\mathrm{dx} \\$$

Answered by mindispower last updated on 27/Jan/21

$$\left.\:\:{existe}\:{if}\:{n}\in\right]−\mathrm{1},\mathrm{5}\left[=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{t}^{\frac{{n}−\mathrm{5}}{\mathrm{6}}} }{\mathrm{6}\left(\mathrm{1}+{t}\right)}{dt}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{t}^{\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{6}}−\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{1}+{t}\right)^{\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{6}}+\frac{−{n}+\mathrm{5}}{\mathrm{6}}\:} \:}\right. \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\beta\left(\frac{{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{6}},\frac{\mathrm{5}−{n}}{\mathrm{6}}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}.\frac{\pi}{{sin}\left(\frac{\left({n}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{6}}\right)} \\$$

Commented by Lordose last updated on 27/Jan/21

$$\mathrm{Gratitude} \\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 27/Jan/21

$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{6}} }\mathrm{dx}\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{cha7gement}\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{6}} \:=\mathrm{t}\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\left(\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}} \right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}−\mathrm{1}} \:\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{6}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{t}^{\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{6}}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}×\frac{\pi}{\mathrm{sin}\left(\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\pi}{\mathrm{6}}\right)} \\$$$$\mathrm{here}\:\mathrm{i}\:\mathrm{have}\:\mathrm{used}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{a}−\mathrm{1}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\frac{\pi}{\mathrm{sin}\left(\pi\mathrm{a}\right)} \\$$$$\mathrm{convergence}\:\mathrm{of}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} \:\:\:\mathrm{at}\:+\infty\:\:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }{\mathrm{x}^{\mathrm{6}} +\mathrm{1}}\sim\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{6}−\mathrm{n}} }\:\mathrm{and}\:\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{6}−\mathrm{n}} }\mathrm{cv}\:\Leftrightarrow\mathrm{6}−\mathrm{n}>\mathrm{1} \\$$$$\mathrm{5}−\mathrm{n}>\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{n}<\mathrm{5}\:\Rightarrow\mathrm{n}\leqslant\mathrm{4} \\$$