Question Number 130472 by shaker last updated on 26/Jan/21 | ||
Answered by mathmax by abdo last updated on 26/Jan/21 | ||
$$\mathrm{let}\:\mathrm{w}\left(\mathrm{x}\right)\:=\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:\Rightarrow\mathrm{w}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{2}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{kx}^{\mathrm{k}} −\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{k}} \:=\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:\:\left(\mathrm{x}\neq\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{kx}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} +\mathrm{1}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{kx}^{\mathrm{k}} \:=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{1}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{w}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{2x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} +\mathrm{1}\right)−\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{2x}\left(\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} +\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{x}\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{2x}\left(\mathrm{nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:+\mathrm{1}\right)+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\sqrt{\mathrm{2nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}−\mathrm{n}}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2nx}^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{x}}−\mathrm{n}\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement} \\ $$$$\mathrm{x}−\mathrm{1}=\mathrm{t}\:\:\left(\mathrm{t}\rightarrow\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{f}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{2n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}}−\mathrm{nt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \:\sim\mathrm{1}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{t}\:+\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \sim\mathrm{1}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{t}+\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t}\:\sim\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{2n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} −\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} +\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{t} \\ $$$$\sim\mathrm{2n}\left\{\mathrm{1}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\mathrm{t}+\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right\}−\mathrm{2}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}+\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{t}+\frac{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{n}}{\mathrm{2}}\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)+\mathrm{1} \\ $$$$....\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\ $$ | ||
Answered by mathmax by abdo last updated on 26/Jan/21 | ||
$$\mathrm{in}\:\mathrm{this}\:\mathrm{case}\:\mathrm{it}\:\mathrm{better}\:\mathrm{to}\:\mathrm{use}\left[\mathrm{hospital}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{let}\right. \\ $$$$\mathrm{u}\left(\mathrm{x}\right)=\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{5x}^{\mathrm{3}} +....+\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }−\mathrm{n}\:\mathrm{and}\:\mathrm{v}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}−\mathrm{1} \\ $$$$\mathrm{u}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{6x}+\mathrm{15x}^{\mathrm{2}} +....+\mathrm{n}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}+\mathrm{3x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{5x}^{\mathrm{3}} +....+\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)\mathrm{x}^{\mathrm{n}} }}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} \mathrm{u}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{1}+\mathrm{6}+\mathrm{15}+....+\mathrm{n}\left(\mathrm{2n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{3}+\mathrm{5}+....+\mathrm{2n}−\mathrm{1}}} \\ $$$$\mathrm{v}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} \mathrm{v}^{'} \left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{1}\:\:\mathrm{also} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{k}\left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{2}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{k}^{\mathrm{2}} −\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{k}\:=\mathrm{2}.\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}=\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left\{\frac{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right\} \\ $$$$=\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\frac{\mathrm{4n}+\mathrm{2}−\mathrm{3}}{\mathrm{6}}\right)\:=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$$$\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\mathrm{2k}−\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{2}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \mathrm{k}−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\mathrm{k}\:=\mathrm{2}\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{1}} \left(...\right) \\ $$$$=\frac{\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}}{\mathrm{2}\sqrt{\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}}}\:=\frac{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{4n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}\sqrt{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}} \\ $$$$=\frac{\left(\mathrm{4n}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{n}\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)}}{\mathrm{6}\sqrt{\mathrm{2}}} \\ $$ | ||