Question Number 129318 by mnjuly1970 last updated on 14/Jan/21 | ||
$$\:\:\:\:\:...\:\:{laplace}\:\:\:\:\:{transformation}.. \\ $$$$\:\:\:\:\mathscr{L}\:\:\left({te}^{−{t}} \lfloor{t}\rfloor\right)=? \\ $$$$\:\:\:{note}\::\:\lfloor{x}\rfloor\:{is}\:{floor}\:{of}\:''\:{x}\:''... \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:.............. \\ $$$$ \\ $$ | ||
Answered by mathmax by abdo last updated on 14/Jan/21 | ||
$$\mathrm{L}\left(\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} \left[\mathrm{t}\right]\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{xe}^{−\mathrm{x}} \left[\mathrm{x}\right]\:\mathrm{e}^{−\mathrm{tx}} \mathrm{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}\left[\mathrm{x}\right]\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\int_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \mathrm{nxe}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\:\int_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{xe}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \mathrm{dx}\: \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{n}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{xe}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}} \:\mathrm{dx}\:=_{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}=\mathrm{u}} \:\:\int_{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{n}} ^{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)} \frac{\mathrm{u}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \:\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} ^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \:\mathrm{ue}^{−\mathrm{u}} \:\mathrm{du}\:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left\{\left[−\mathrm{ue}^{−\mathrm{u}} \right]_{\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} ^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right. \\ $$$$\left.+\int_{\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} ^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \:\mathrm{du}\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left\{\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} −\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right\} \\ $$$$+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\left[−\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \right]_{\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} ^{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{e}^{−\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} −\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \:+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{−\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} −\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \:−\left(\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{L}\left(\mathrm{te}^{−\mathrm{t}} \left[\mathrm{t}\right]\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\left(\frac{\mathrm{n}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$−\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{n}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \:=\mathrm{S}_{\mathrm{1}} −\mathrm{S}_{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{n}\left(\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right)^{\mathrm{n}} +\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} }\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\Psi\left(\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right)+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right)}\:\mathrm{with}\:\Psi\left(\mathrm{x}\right)= \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{nx}^{\mathrm{n}} \:\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{x}}\:\mathrm{for}\:\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1}\:\Rightarrow \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{nx}^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}×\frac{\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} }{\left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right)} \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} −\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}+\mathrm{1}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \mathrm{ne}^{−\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} −\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right)^{\mathrm{n}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} }−\mathrm{1}\:=\frac{\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} }{\mathrm{1}−\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} } \\ $$$$\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{ne}^{−\mathrm{n}\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\:\left(\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right)^{\mathrm{n}} \:=\Phi\left(\mathrm{e}^{−\left(\mathrm{t}+\mathrm{1}\right)} \right) \\ $$$$\Phi\:\mathrm{is}\:\mathrm{know}.... \\ $$ | ||