Question Number 128109 by bemath last updated on 04/Jan/21 | ||
$$\emptyset\:=\:\int\:\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\:\sqrt{\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}}\:\mathrm{dx}\: \\ $$ | ||
Answered by liberty last updated on 04/Jan/21 | ||
$$\:\phi\:=\:\int\:\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{2}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{\mathrm{x}−\mathrm{1}}\:\mathrm{dx}\: \\ $$$$\:\mathrm{let}\:\mathrm{x}\:=\:\mathrm{sec}\:\mathrm{t}\: \\ $$$$\:\emptyset\:=\:\int\:\frac{\left(\mathrm{sec}\:\mathrm{t}−\mathrm{2}\right).\mathrm{tan}\:\mathrm{t}}{\mathrm{sec}\:\mathrm{t}−\mathrm{1}}.\:\left(\mathrm{sec}\:\mathrm{t}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{t}\:\right)\:\mathrm{dt}\: \\ $$$$\:\phi\:=\:\int\:\frac{\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{t}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{t}}\right).\frac{\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{t}}}{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{t}}{\mathrm{cos}\:\mathrm{t}}}\:\mathrm{dt}\: \\ $$$$\:\phi\:=\:\int\:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{t}\right)\mathrm{sin}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{t}\:\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{t}\right)}\:\mathrm{dt}\: \\ $$$$\:\phi\:=\:\int\:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{t}\right)}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{t}\left(\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{t}\right)}\:\mathrm{dt} \\ $$$$\:\phi\:=\:\int\:\frac{\left(\mathrm{1}−\mathrm{2cos}\:\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\:\mathrm{t}\right)}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{t}}\:\mathrm{dt}\: \\ $$$$\:\phi\:=\:\int\:\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cos}\:\mathrm{t}−\mathrm{2cos}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\mathrm{cos}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{t}}\:\mathrm{dt} \\ $$$$\:\emptyset\:=\:\int\:\mathrm{sec}\:^{\mathrm{3}} \mathrm{t}\:\mathrm{dt}−\int\mathrm{sec}\:^{\mathrm{2}} \mathrm{t}\:\mathrm{dt}−\mathrm{2}\int\mathrm{sec}\:\mathrm{t}\:\mathrm{dt} \\ $$$$\:\emptyset\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sec}\:\mathrm{t}\:\mathrm{tan}\:\mathrm{t}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{sec}\:\mathrm{t}+\mathrm{tan}\:\mathrm{t}\mid−\mathrm{tan}\:\mathrm{t}−\mathrm{2ln}\:\mid\mathrm{sec}\:\mathrm{t}+\mathrm{tan}\:\mathrm{t}\mid\:+\mathrm{C} \\ $$$$\:\phi=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\mid\:+\mathrm{C} \\ $$$$\:\phi\:=\:\frac{\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\mid\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\:\mid\:+\:\mathrm{C} \\ $$ | ||