Question Number 127116 by physicstutes last updated on 27/Dec/20 | ||
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{a}\:\mathrm{sequence}\:\left({u}_{{n}} \right)\:\mathrm{defined}\:\mathrm{reculsively}\:\mathrm{by} \\ $$$$\:{u}_{{n}+\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{3}{u}_{{n}} +\:\mathrm{4}{u}_{{n}−\mathrm{1}} ,\:\:{u}_{\mathrm{0}} =\:\mathrm{1}\:,\:{u}_{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{3} \\ $$$$\:\mathrm{show}\:\mathrm{that}\:\:{u}_{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{4}{u}_{{n}} \:=\:\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{0}} −\mathrm{4}{u}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{hence}\:\mathrm{show}\:\mathrm{that}\:{u}_{{n}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{divegent}\:\mathrm{sequence}. \\ $$ | ||
Commented by 676597498 last updated on 27/Dec/20 | ||
$${f}.{maths}\:{gce}\:\mathrm{2020}. \\ $$$${i}\:{got}\:{the}\:{mark}\:{guide} \\ $$ | ||
Commented by Ar Brandon last updated on 27/Dec/20 | ||
Quel pays ? | ||
Answered by mr W last updated on 27/Dec/20 | ||
$${p}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{p}−\mathrm{4}=\mathrm{0} \\ $$$$\left({p}−\mathrm{4}\right)\left({p}+\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${p}=\mathrm{4},−\mathrm{1} \\ $$$${u}_{{n}} ={A}×\mathrm{4}^{{n}} +{B}×\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \\ $$$${u}_{\mathrm{2}} =\mathrm{16}{A}+{B}=\mathrm{3} \\ $$$${u}_{\mathrm{0}} ={A}+{B}=\mathrm{1} \\ $$$$\Rightarrow{A}=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{15}} \\ $$$$\Rightarrow{B}=\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{15}} \\ $$$${u}_{{n}} =\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{15}}×\mathrm{4}^{{n}} +\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{15}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \\ $$$${u}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{15}}−\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{15}}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{3}{u}_{\mathrm{0}} −\mathrm{4}{u}_{\mathrm{1}} =\mathrm{3}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{3}}=\frac{\mathrm{13}}{\mathrm{3}}=\mathrm{5}{B} \\ $$$${u}_{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{4}{u}_{{n}} ={A}×\mathrm{4}^{{n}+\mathrm{1}} +{B}×\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{4}{A}×\mathrm{4}^{{n}} −\mathrm{4}{B}×\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \\ $$$$=\mathrm{5}{B}×\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{0}} −\mathrm{4}{u}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$ | ||
Commented by physicstutes last updated on 27/Dec/20 | ||
$$\mathrm{thats}\:\mathrm{wonderful}\:\mathrm{gracias} \\ $$ | ||
Answered by Raxreedoroid last updated on 27/Dec/20 | ||
$$\mathrm{Given}\:\mathrm{a}\:\mathrm{sequence}\:\left({u}_{{n}} \right)\:\mathrm{defined}\:\mathrm{reculsively}\:\mathrm{by} \\ $$$$\:{u}_{{n}+\mathrm{1}} \:=\:\mathrm{3}{u}_{{n}} +\:\mathrm{4}{u}_{{n}−\mathrm{1}} ,\:\:{u}_{\mathrm{0}} =\:\mathrm{1}\:,\:{u}_{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{3} \\ $$$$\:\mathrm{show}\:\mathrm{that}\:\:{u}_{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{4}{u}_{{n}} \:=\:\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{3}{u}_{\mathrm{0}} −\mathrm{4}{u}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{hence}\:\mathrm{show}\:\mathrm{that}\:{u}_{{n}} \:\mathrm{is}\:\mathrm{a}\:\mathrm{divegent}\:\mathrm{sequence}. \\ $$$$\mathrm{3}{u}_{\mathrm{1}} ={u}_{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{u}_{\mathrm{0}} \\ $$$${u}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{3}−\mathrm{4}}{\mathrm{3}}=−\mathrm{0}.\overset{\_} {\mathrm{3}} \\ $$$${u}_{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{4}{u}_{{n}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{3}×\mathrm{1}+\mathrm{4}×\mathrm{0}.\overset{\_} {\mathrm{3}}\right) \\ $$$${u}_{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{4}{u}_{{n}} =\mathrm{4}.\overset{−} {\mathrm{3}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$${Let}\:{n}=\mathrm{1}\:{then}\:{u}_{\mathrm{2}} −\mathrm{4}{u}_{\mathrm{1}} =\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{1}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{4}.\overset{\_} {\mathrm{3}}\right) \\ $$$$\mathrm{3}−\mathrm{4}\left(−\mathrm{0}.\overset{−} {\mathrm{3}}\right)=\mathrm{4}.\overset{−} {\mathrm{3}} \\ $$$$\mathrm{4}.\overset{−} {\mathrm{3}}=\mathrm{4}.\overset{−} {\mathrm{3}}\checkmark \\ $$$$\left({a}\right):{Assume}\:{u}_{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{4}{u}_{{n}} =\mathrm{4}.\overset{−} {\mathrm{3}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$${Subtitute}\:{x}\:{as}\:\mathrm{4}.\overset{−} {\mathrm{3}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}\:\:\:\:} \:\:\:{u}_{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{4}{u}_{{n}} ={x} \\ $$$${solve}\:{for}\:{x} \\ $$$${u}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{3}{u}_{{n}} +\mathrm{4}{u}_{{n}−\mathrm{1}} \:\:\:\therefore\:\mathrm{3}{u}_{{n}} +\mathrm{4}{u}_{{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{4}{u}_{{n}} ={x} \\ $$$${x}=\mathrm{4}{u}_{{n}−\mathrm{1}} −{u}_{{n}} \\ $$$$\therefore\:\:−{x}={u}_{{n}} −\mathrm{4}{u}_{{n}−\mathrm{1}} \\ $$$${u}_{{n}} −\mathrm{4}{u}_{{n}−\mathrm{1}} =\mathrm{4}.\overset{−} {\mathrm{3}}\left(−\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$${u}_{{n}} −\mathrm{4}{u}_{{n}−\mathrm{1}} =\mathrm{4}.\overset{−} {\mathrm{3}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{2}} =\mathrm{4}.\overset{−} {\mathrm{3}}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} =\mathrm{4}.\overset{−} {\mathrm{3}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} \\ $$$${Subsitute}\:{n}\:{as}\:{n}+\mathrm{1} \\ $$$${u}_{{n}+\mathrm{1}} −\mathrm{4}{u}_{{n}} =\mathrm{4}.\overset{−} {\mathrm{3}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} {which}\:{is}\:{true}\:{from}\:\left({a}\right) \\ $$$$\:{u}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{4}.\overset{−} {\mathrm{3}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{4}{u}_{{n}} \\ $$$$\:=\mathrm{4}.\overset{−} {\mathrm{3}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{4}×\mathrm{4}.\overset{−} {\mathrm{3}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}} +\mathrm{16}{u}_{{n}−\mathrm{1}} ...\mathrm{4}^{{n}} \left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} +\mathrm{4}^{{n}+\mathrm{1}} \\ $$$${u}_{{n}+\mathrm{1}} =\mathrm{4}^{{n}+\mathrm{1}} +\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}+\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{4}^{{i}−\mathrm{1}} ×\mathrm{4}.\overset{−} {\mathrm{3}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−{i}} \\ $$$${u}_{{n}} =\mathrm{4}^{{n}} +\mathrm{4}.\overset{−} {\mathrm{3}}\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{4}^{{i}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−{i}−\mathrm{1}} \\ $$$${u}_{{n}} =\mathrm{4}^{{n}} +\mathrm{4}.\overset{−} {\mathrm{3}}\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{4}^{{i}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−{i}−\mathrm{1}} \\ $$$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {{l}im}\:\left(\mathrm{4}^{{n}} +\mathrm{4}.\overset{−} {\mathrm{3}}\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mathrm{4}^{{i}−\mathrm{1}} \left(−\mathrm{1}\right)^{{n}−{i}−\mathrm{1}} \right)=\infty \\ $$ | ||