Question Number 123060 by mnjuly1970 last updated on 22/Nov/20 | ||
$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:....\:\:\:{nice}\:\:{calculus}\:.... \\ $$$$\:\:\:{evaluate}\:::: \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\Omega\overset{???} {=}\int_{−\infty} ^{\:\infty} \frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+{e}^{{x}} \right)\left(\mathrm{1}+{e}^{−{x}} \right)}{dx} \\ $$ | ||
Answered by mindispower last updated on 22/Nov/20 | ||
$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{e}^{{x}} {x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+{e}^{{x}} \right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{2}\left[−\frac{{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+{e}^{{x}} }\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} +\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{x}}{\mathrm{1}+{e}^{{x}} }{dx} \\ $$$$=\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {x}\Sigma\left(−\mathrm{1}{e}^{−{x}} \right)^{{k}} {e}^{−{x}} {dx} \\ $$$$=\mathrm{4}\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} {e}^{−\left(\mathrm{1}+{k}\right){x}} {xdx} \\ $$$$=\mathrm{4}\underset{{k}\geqslant\mathrm{0}} {\sum}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{\left(\mathrm{1}+{k}\right)^{\mathrm{2}} }{xe}^{−{x}} {dx} \\ $$$$=\mathrm{4}\Sigma\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} }{\left(\mathrm{1}+{k}\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{4}\left(\frac{\zeta\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$ | ||
Commented by mnjuly1970 last updated on 22/Nov/20 | ||
$${grateful} \\ $$$${mr}\:{mindspower}... \\ $$ | ||
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 22/Nov/20 | ||
$$\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{x}^{\mathrm{2}} {e}^{{x}} }{\left(\mathrm{1}+{e}^{{x}} \right)^{\mathrm{2}} }{dx} \\ $$$$=\mathrm{4}{x}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{e}^{{x}} }{\left(\mathrm{1}+{e}^{{x}} \right)^{\mathrm{2}} }{dx}−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{4}{x}\int\frac{{e}^{{x}} }{\left(\mathrm{1}+{e}^{{x}} \right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=−\left[\frac{\mathrm{2}{x}}{\left(\mathrm{1}+{e}^{{x}} \right)}\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} +\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{x}}{\left(\mathrm{1}+{e}^{{x}} \right)}{dx} \\ $$$$=\mathrm{4}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} \int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {xe}^{−{nx}} {dx} \\ $$$$=\mathrm{4}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{n}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {ue}^{−{u}} {du} \\ $$$$=\mathrm{4}\overset{\infty} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{n}+\mathrm{1}} }{{n}^{\mathrm{2}} }\Gamma\left(\mathrm{2}\right)=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}.\mathrm{4}=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}} \\ $$ | ||
Commented by mnjuly1970 last updated on 22/Nov/20 | ||
$${thank}\:{you}\:{mr} \\ $$$${payan}.. \\ $$ | ||
Answered by mathmax by abdo last updated on 22/Nov/20 | ||
$$\Omega\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{x}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{x}} \right)}\mathrm{dx}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{e}^{\mathrm{x}\:} =\mathrm{t}\:\mathrm{give} \\ $$$$\Omega\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{−\mathrm{1}} \right)}\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:+\int_{\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\left(\rightarrow\mathrm{t}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right) \\ $$$$=\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{hsve}\:\mathrm{for}\:\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1}\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}}=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\mathrm{n}\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} }=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\Rightarrow \\ $$$$\Omega\:=\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \right)\mathrm{dx} \\ $$$$=\mathrm{2}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{x}\:\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{n}} \mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{xdx}\:=\left[\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{ln}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}\:} \frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\frac{\mathrm{2lnx}}{\mathrm{x}}\mathrm{dx} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\mathrm{x}^{\mathrm{n}\:} \mathrm{lnx}\:\mathrm{dx}\:=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\left\{\left[\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\mathrm{lnx}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} }{\mathrm{n}+\mathrm{1}}\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}}\right\} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\Rightarrow\:\Omega\:=\mathrm{2}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{2}}{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$=\mathrm{4}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{4}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }\:=−\mathrm{4}\:\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{let}\:\delta\left(\mathrm{x}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{x}} }\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{know}\:\delta\left(\mathrm{x}\right)\:=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{x}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{x}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\delta\left(\mathrm{2}\right)=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{1}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} }=\left(\mathrm{2}^{\mathrm{1}−\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\xi\left(\mathrm{2}\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}.\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}=−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\:\Rightarrow \\ $$$$\Omega\:=−\mathrm{4}×\left(−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{12}}\right)\:\Rightarrow\Omega\:=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$ | ||
Commented by mnjuly1970 last updated on 22/Nov/20 | ||
$${thank}\:{you}\:{so}\:{much}\:{sir}\:{max}. \\ $$ | ||
Commented by mathmax by abdo last updated on 23/Nov/20 | ||
$$\mathrm{you}\:\mathrm{are}\:\mathrm{welcome}\:\mathrm{sir} \\ $$ | ||