Question Number 122922 by bemath last updated on 21/Nov/20 | ||
$$\:\:\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{\pi/\mathrm{4}} {\int}}\:\frac{\mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{16sin}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{9}}\:{dx}\: \\ $$ | ||
Answered by liberty last updated on 21/Nov/20 | ||
$$\varsigma\:=\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{\pi/\mathrm{4}} {\int}}\frac{\mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{16sin}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{9}}\:{dx}\: \\ $$$$\:\left[\:{let}\:\mathrm{16sin}\:\mathrm{2}{x}+\mathrm{9}\:=\:{t}\:\Rightarrow{dt}=\mathrm{32cos}\:\mathrm{2}{x}\:{dx}\:\right] \\ $$$$\:\Rightarrow{dt}\:=\:\mathrm{32}\:\left(\mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{sin}\:{x}\right)\left(\mathrm{cos}\:{x}−\mathrm{sin}\:{x}\right){dx} \\ $$$$\Rightarrow{dt}=\mathrm{32}\left(\mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{sin}\:{x}\right)\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{sin}\:\mathrm{2}{x}}\:{dx} \\ $$$$\Rightarrow{dt}=\mathrm{32}\left(\mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{sin}\:{x}\right)\sqrt{\mathrm{1}−\left(\frac{{t}−\mathrm{9}}{\mathrm{16}}\right)}\:{dx} \\ $$$$\Rightarrow\left(\mathrm{cos}\:{x}+\mathrm{sin}\:{x}\right){dx}\:=\:\frac{{dt}}{\mathrm{32}\:\sqrt{\frac{\mathrm{25}−{t}}{\mathrm{16}}}}=\frac{{dt}}{\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{25}−{t}}} \\ $$$$\varsigma\:=\:\int_{\mathrm{9}} ^{\mathrm{25}} \frac{{dt}}{\mathrm{8}{t}\sqrt{\mathrm{25}−{t}}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\:\mathrm{8}}\int_{\mathrm{9}} ^{\mathrm{25}} \frac{{dt}}{{t}\sqrt{\mathrm{25}−{t}}} \\ $$$$\:\left[\:{let}\:\sqrt{\mathrm{25}−{t}}\:=\:{s}\:\Rightarrow{t}=\mathrm{25}−{s}^{\mathrm{2}} \:\right]\: \\ $$$$\varsigma\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int_{\mathrm{4}} ^{\mathrm{0}} \frac{−\mathrm{2}{s}\:{ds}}{{s}\left(\mathrm{25}−{s}^{\mathrm{2}} \right)}=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \frac{{ds}}{\mathrm{25}−{s}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\left[\:\frac{−\mathrm{1}}{\left({s}+\mathrm{5}\right)\left({s}−\mathrm{5}\right)}\:=\:\frac{{A}}{{s}+\mathrm{5}}\:+\:\frac{{B}}{{s}−\mathrm{5}}\:\right] \\ $$$$\:\left[\:{A}=\frac{−\mathrm{1}}{{s}−\mathrm{5}}\mid_{{s}=−\mathrm{5}} \:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\:\wedge\:{B}\:=\:\frac{−\mathrm{1}}{{s}+\mathrm{5}}\:\mid_{{s}=\mathrm{5}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\:\right] \\ $$$$\varsigma\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{40}}\:\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \frac{{ds}}{{s}+\mathrm{5}}−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \frac{{ds}}{{s}−\mathrm{5}}\right) \\ $$$$\varsigma\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{40}}\:\left(\mathrm{ln}\:\mid\frac{{s}+\mathrm{5}}{{s}−\mathrm{5}}\mid\right)_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} =\:\frac{\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{9}\right)}{\mathrm{40}}.\blacktriangle \\ $$ | ||