Question Number 120937 by Khalmohmmad last updated on 04/Nov/20 | ||
Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 04/Nov/20 | ||
$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left({n}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{2}}{\left(\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}−\mathrm{1}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}+\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)−\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{2}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{2}\right)}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\mathrm{2}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}−\mathrm{1}+\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\right)+\mathrm{4}\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\left({n}+\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{2}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{2}}+\mathrm{4}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\mathrm{0}\right) \\ $$$$=\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{2}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}} \\ $$ | ||
Answered by mathmax by abdo last updated on 05/Nov/20 | ||
$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{2k}+\mathrm{1}}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{k}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow\:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =_{\mathrm{k}+\mathrm{1}=\mathrm{p}} \:\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2}\left(\mathrm{p}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}}{\mathrm{p}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\sum_{\mathrm{p}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2p}−\mathrm{1}}{\left(\mathrm{p}\left(\mathrm{p}+\mathrm{1}\right)\right)^{\mathrm{2}} }\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{2x}−\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{d}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{b}=−\mathrm{1}\:\:,\:\mathrm{d}=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}\:−\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{xF}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{c}=−\mathrm{a}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{1}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:=\mathrm{a}−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{2}}=\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{a}=\mathrm{4}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{x}}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{x}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{k}}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{3}}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\right) \\ $$$$=\mathrm{4}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}+\mathrm{1}}\right)\:−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{3}\:\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{2}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{k}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{4}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+...+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\right)−\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{1}−\mathrm{3}\sum_{\mathrm{k}=\mathrm{3}} ^{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\mathrm{4}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}+\mathrm{2}}\right)−\xi_{\mathrm{n}+\mathrm{1}} \left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{1}−\mathrm{3}\left(\xi_{\mathrm{n}+\mathrm{2}} \left(\mathrm{2}\right)−\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \:\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\mathrm{2}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}+\mathrm{1}−\mathrm{3}\left(\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}\right) \\ $$$$=\mathrm{3}−\frac{\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}−\frac{\mathrm{3}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{6}}\:+\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{4}}\:=\frac{\mathrm{27}}{\mathrm{4}}−\frac{\mathrm{2}\pi^{\mathrm{2}} }{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$ | ||