Question Number 120363 by Lordose last updated on 30/Oct/20 | ||
$$ \\ $$$$\mathrm{Determine}\:\mathrm{the}\:\mathrm{sum}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{1st}\:\mathrm{nth}\:\mathrm{term} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{Sequence} \\ $$$$ \\ $$$$\:\mathrm{1},\mathrm{4},\mathrm{10},\mathrm{22},\mathrm{46},.... \\ $$$$ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\bigstar\mathrm{Almighty}\:\mathrm{Formula} \\ $$ | ||
Answered by floor(10²Eta[1]) last updated on 31/Oct/20 | ||
$$\left(\mathrm{1},\:\mathrm{4},\:\mathrm{10},\:\mathrm{22},\:\mathrm{46},\:...,\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right)=\left(\mathrm{a}_{\mathrm{1}} ,\:\mathrm{a}_{\mathrm{2}} ,\:\mathrm{a}_{\mathrm{3}} ,\:...,\:\mathrm{a}_{\mathrm{n}} \right) \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{1}} =\mathrm{a}_{\mathrm{1}} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{2}} =\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{3} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{3}} =\mathrm{a}_{\mathrm{2}} +\mathrm{6} \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{4}} =\mathrm{a}_{\mathrm{3}} +\mathrm{12} \\ $$$$...\:\left(\mathrm{sum}\:\mathrm{all}\:\mathrm{together}\right) \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{S}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} +\left(\mathrm{3}+\mathrm{6}+\mathrm{12}+...+\mathrm{b}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\mathrm{S}_{\mathrm{n}} −\mathrm{a}_{\mathrm{n}} +\left(\mathrm{3}+\mathrm{6}+...+\mathrm{b}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right) \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\mathrm{a}_{\mathrm{1}} +\left(\mathrm{3}+\mathrm{6}+\mathrm{12}+...+\mathrm{b}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)\: \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\mathrm{1}+\left(\mathrm{3}+\mathrm{6}+\mathrm{12}+...+\mathrm{b}_{\mathrm{n}−\mathrm{1}} \right)\:\left[\mathrm{geometric}\:\mathrm{progression}\right] \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\mathrm{1}+\mathrm{3}\left(\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{a}_{\mathrm{n}} =\mathrm{3}.\mathrm{2}^{\mathrm{n}−\mathrm{1}} −\mathrm{2} \\ $$$$\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\left(\mathrm{3}.\mathrm{2}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} −\mathrm{2}\right)=\mathrm{3}\left(\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mathrm{2}^{\mathrm{k}−\mathrm{1}} \right)−\mathrm{2n} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{S}_{\mathrm{n}} =\mathrm{3}.\mathrm{2}^{\mathrm{n}} −\mathrm{3}−\mathrm{2n} \\ $$$$ \\ $$ | ||