Question and Answers Forum

All Questions      Topic List

None Questions

Previous in All Question      Next in All Question      

Previous in None      Next in None      

Question Number 120186 by help last updated on 29/Oct/20

Answered by mathmax by abdo last updated on 30/Oct/20

where is f(x)?

$$\mathrm{where}\:\mathrm{is}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)? \\ $$

Commented by help last updated on 30/Oct/20

Commented by mathmax by abdo last updated on 30/Oct/20

1)lim_(x→0^+ )    f(x) =lim_(x→0^+ )   (((x+1)/x))ln(1+x) =lim_(x→0^+ )   (1+(1/x))ln(1+x)  =lim_(x→0^+ )   ln(1+x)+((ln(1+x))/x) =0+1 =1=f(0) ⇒f is right contnue  at x_0 =0  b)lim_(x→0^+ )    ((f(x)−f(0))/x) =lim_(x→0^+ )    (((((x+1)/x))ln(1+x)−1)/x)  =lim_(x→0^+ )    (((x+1)ln(1+x)−x)/x^2 )  we have ln(1+x)∼x ⇒  (((x+1)ln(1+x)−x)/x^2 )∼(((x+1)x−x)/x^2 ) =1 ⇒f is differenviable on the  right of o and f_d ^′ (0)=1  2)uts clear that f differenciable on]0,+∞[ and  f^′ (x) =(d/dx)((1+(1/x))ln(1+x)) =−(1/x^2 )ln(1+x)+(1+(1/x)).(1/(1+x))  =−((ln(1+x))/x^2 ) +(1/x) =(1/x^2 ){x−ln(1+x)}

$$\left.\mathrm{1}\right)\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\:\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right) \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)+\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}}\:=\mathrm{0}+\mathrm{1}\:=\mathrm{1}=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)\:\Rightarrow\mathrm{f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{right}\:\mathrm{contnue} \\ $$$$\mathrm{at}\:\mathrm{x}_{\mathrm{0}} =\mathrm{0} \\ $$$$\left.\mathrm{b}\right)\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\:\frac{\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)−\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)}{\mathrm{x}}\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\:\frac{\left(\frac{\mathrm{x}+\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)−\mathrm{1}}{\mathrm{x}} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow\mathrm{0}^{+} } \:\:\:\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)−\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\sim\mathrm{x}\:\Rightarrow \\ $$$$\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)−\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\sim\frac{\left(\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)\mathrm{x}−\mathrm{x}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{1}\:\Rightarrow\mathrm{f}\:\mathrm{is}\:\mathrm{differenviable}\:\mathrm{on}\:\mathrm{the} \\ $$$$\mathrm{right}\:\mathrm{of}\:\mathrm{o}\:\mathrm{and}\:\mathrm{f}_{\mathrm{d}} ^{'} \left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{1} \\ $$$$\left.\mathrm{2}\left.\right)\mathrm{uts}\:\mathrm{clear}\:\mathrm{that}\:\mathrm{f}\:\mathrm{differenciable}\:\mathrm{on}\right]\mathrm{0},+\infty\left[\:\mathrm{and}\right. \\ $$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{dx}}\left(\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\right)\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)+\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\right).\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{x}} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\left\{\mathrm{x}−\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\right)\right\} \\ $$

Terms of Service

Privacy Policy

Contact: info@tinkutara.com