Question Number 116239 by bemath last updated on 02/Oct/20 | ||
$$\mathrm{a}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{is}\:\mathrm{tangent}\:\mathrm{to}\:\mathrm{x}−\mathrm{axis}\:,\:\mathrm{y}−\mathrm{axis} \\ $$$$\mathrm{and}\:\mathrm{the}\:\mathrm{line}\:\mathrm{3x}−\mathrm{4y}+\mathrm{6}=\mathrm{0}. \\ $$$$\mathrm{what}\:\mathrm{its}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}? \\ $$ | ||
Answered by bemath last updated on 02/Oct/20 | ||
$$\mathrm{say}\:\mathrm{P}\left(\mathrm{a},\mathrm{b}\right)\:\mathrm{be}\:\mathrm{a}\:\mathrm{centre}\:\mathrm{point}\:\mathrm{the}\:\mathrm{circle} \\ $$$$\mathrm{tangent}\:\mathrm{to}\:\mathrm{x}−\mathrm{axis}\:\rightarrow\mathrm{radius}\:=\:\mid\mathrm{b}\mid \\ $$$$\mathrm{tangent}\:\mathrm{to}\:\mathrm{y}−\mathrm{axis}\rightarrow\mathrm{radius}\:=\:\mid\mathrm{a}\mid \\ $$$$\mathrm{tangent}\:\mathrm{to}\:\mathrm{the}\:\mathrm{line}\:\mathrm{3x}−\mathrm{4y}+\mathrm{6}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{radius}\:=\:\frac{\mid\mathrm{3a}−\mathrm{4b}+\mathrm{6}\mid}{\mathrm{5}} \\ $$$$\mathrm{Now}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mid\mathrm{a}\mid\:=\:\mid\mathrm{b}\mid\:\rightarrow\begin{cases}{\mathrm{a}=\mathrm{b}}\\{\mathrm{a}=−\mathrm{b}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{case}\:\mathrm{a}=\mathrm{b}\:\Rightarrow\mid\mathrm{a}\mid\:=\:\frac{\mid\mathrm{6}−\mathrm{a}\mid}{\mathrm{5}} \\ $$$$\Rightarrow\:\mathrm{25a}^{\mathrm{2}} \:=\:\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{12a}+\mathrm{36}\: \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{24a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{12a}−\mathrm{36}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}−\mathrm{3}=\mathrm{0}\:,\left(\mathrm{2a}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\rightarrow\begin{cases}{\mathrm{a}=−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}=\mathrm{b}\Rightarrow\rightarrow\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}}\\{\mathrm{a}=\mathrm{1}=\mathrm{b}\Rightarrow\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}}\end{cases} \\ $$$$\mathrm{for}\:\mathrm{case}\:\mathrm{a}=−\mathrm{b} \\ $$$$\Rightarrow\mid\mathrm{a}\mid\:=\:\frac{\mid\mathrm{7a}+\mathrm{6}\mid}{\mathrm{5}} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{25a}^{\mathrm{2}} =\:\mathrm{49a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{84a}+\mathrm{36} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{24a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{84a}+\mathrm{36}=\mathrm{0} \\ $$$$\Rightarrow\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7a}+\mathrm{3}=\mathrm{0},\left(\mathrm{2a}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{3}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\rightarrow\begin{cases}{\mathrm{a}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\mathrm{b}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Rightarrow\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}}\\{\mathrm{a}=−\mathrm{3},\mathrm{b}=\mathrm{3}\Rightarrow\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{9}}\end{cases} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$ | ||
Commented by bobhans last updated on 02/Oct/20 | ||
Answered by 1549442205PVT last updated on 02/Oct/20 | ||
$$\mathrm{Suppose}\:\mathrm{the}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{of}\:\mathrm{the}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{is} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{From}\:\mathrm{the}\:\mathrm{hypothesis}\:\mathrm{we}\:\mathrm{infer}\:\mathrm{the}\:\mathrm{system} \\ $$$$\mathrm{of}\:\mathrm{equations}\:: \\ $$$$\begin{cases}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} }\\{\mathrm{x}=\mathrm{0}}\end{cases}\left(\mathrm{1}\right) \\ $$$$\begin{cases}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} }\\{\mathrm{y}=\mathrm{0}}\end{cases}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$$$\begin{cases}{\left(\mathrm{x}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} }\\{\mathrm{3x}−\mathrm{4y}+\mathrm{6}=\mathrm{0}}\end{cases}\left(\mathrm{3}\right) \\ $$$$\mathrm{have}\:\mathrm{unique}\:\mathrm{root} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\Leftrightarrow\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2yb}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{with}\:\Delta'=\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ax}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{with}\:\Delta'=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} +\mathrm{R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ax}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\left(\frac{\mathrm{3x}+\mathrm{6}}{\mathrm{4}}−\mathrm{b}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ax}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{9x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{36x}+\mathrm{36}}{\mathrm{16}}−\frac{\left(\mathrm{3x}+\mathrm{6}\right)\mathrm{b}}{\mathrm{2}}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{25x}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{32a}+\mathrm{24b}−\mathrm{36}\right)\mathrm{x}+\mathrm{16}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{48b}+\mathrm{36}−\mathrm{16R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{with}\:\Delta'=\left(\mathrm{16a}+\mathrm{12b}−\mathrm{18}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{25}\left[\mathrm{16}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{48b}+\mathrm{36}−\mathrm{16R}^{\mathrm{2}} \right] \\ $$$$=−\mathrm{144a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{256b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{576a}+\mathrm{384ab} \\ $$$$+\mathrm{768b}−\mathrm{576}+\mathrm{400R}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{4}\right) \\ $$$$\mathrm{We}\:\mathrm{need}\:\mathrm{must}\:\mathrm{have}\:\Delta'=\mathrm{0}\:\mathrm{so} \\ $$$$\begin{cases}{−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}}\\{\mathrm{R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}}\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}{\mathrm{a}=\pm\mathrm{R}}\\{\mathrm{b}=\pm\mathrm{R}}\end{cases}\left(\mathrm{5}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{i}\right)\mathrm{For}\:\mathrm{a}=\mathrm{R},\mathrm{b}=\mathrm{R}\:\:\mathrm{replace}\:\mathrm{into}\:\left(\mathrm{4}\right)\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$−\mathrm{144R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{256R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{576R}+\mathrm{384R}^{\mathrm{2}} \\ $$$$+\mathrm{768R}−\mathrm{586}+\mathrm{400R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{384R}^{\mathrm{2}} +\mathrm{192R}−\mathrm{576}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2R}^{\mathrm{2}} +\mathrm{R}−\mathrm{3}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{R}=\mathrm{1}=\mathrm{a}=\mathrm{b} \\ $$$$\left(\mathrm{x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$$\left.\mathrm{ii}\right)\mathrm{For}\:\mathrm{a}=\mathrm{R},\mathrm{b}=−\mathrm{R}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$−\mathrm{144R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{256R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{576R}−\mathrm{384R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{768R} \\ $$$$−\mathrm{576}+\mathrm{400R}^{\mathrm{2}} \Leftrightarrow\mathrm{384R}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1344R}+\mathrm{576}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2R}^{\mathrm{2}} +\mathrm{7R}+\mathrm{3}=\mathrm{0}\Rightarrow\mathrm{has}\:\mathrm{no}\:\mathrm{roots} \\ $$$$\left.\mathrm{iii}\right)\mathrm{For}\:\mathrm{a}=−\mathrm{R},\mathrm{b}=\mathrm{R}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}: \\ $$$$−\mathrm{144R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{256R}^{\mathrm{2}} +\mathrm{576R}−\mathrm{384R}^{\mathrm{2}} \\ $$$$+\mathrm{768R}−\mathrm{576}+\mathrm{400R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{384R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1344R}+\mathrm{576}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{7R}+\mathrm{3}=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{R}=\mathrm{3}\:\vee\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{two}\:\mathrm{the}\:\mathrm{circles} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{9}\:\left(\boldsymbol{\mathrm{R}}=\mathrm{3}=\boldsymbol{\mathrm{b}}=−\boldsymbol{\mathrm{a}}\right) \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\left(\boldsymbol{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\boldsymbol{\mathrm{b}}=−\boldsymbol{\mathrm{a}}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{iv}\right)\mathrm{For}\:\mathrm{a}=−\mathrm{R},\mathrm{b}=−\mathrm{R}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get} \\ $$$$−\mathrm{144R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{256R}^{\mathrm{2}} +\mathrm{576R}+\mathrm{384R}^{\mathrm{2}} \\ $$$$−\mathrm{768R}−\mathrm{576}+\mathrm{400R}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{384R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{192R}−\mathrm{576}=\mathrm{0} \\ $$$$\Leftrightarrow\mathrm{2R}^{\mathrm{2}} −\mathrm{R}−\mathrm{3}=\mathrm{0}\Rightarrow\boldsymbol{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\:=−\boldsymbol{\mathrm{a}}=−\boldsymbol{\mathrm{b}} \\ $$$$\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{y}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}} \\ $$$$\mathrm{Thus},\mathrm{we}\:\mathrm{get}\:\mathrm{four}\:\mathrm{circle}\:\mathrm{with}\:\mathrm{the}\: \\ $$$$\mathrm{equations}\:\mathrm{as}\:\mathrm{above} \\ $$ | ||
Commented by bemath last updated on 02/Oct/20 | ||
$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$ | ||
Answered by TANMAY PANACEA last updated on 02/Oct/20 | ||
$${eqn}\:{of}\:{circle}\:\left({x}−\alpha\right)^{\mathrm{2}} +\left({y}−\alpha\right)^{\mathrm{2}} =\alpha^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mid\frac{\mathrm{3}\alpha−\mathrm{4}\alpha+\mathrm{6}}{\:\sqrt{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} +\left(−\mathrm{4}\right)^{\mathrm{2}} }}\mid=\alpha \\ $$$$\mathrm{36}−\mathrm{12}\alpha+\alpha^{\mathrm{2}} =\mathrm{25}\alpha^{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{12}\left(\mathrm{2}\alpha^{\mathrm{2}} +\alpha−\mathrm{3}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\mathrm{2}\alpha^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}\alpha−\mathrm{2}\alpha−\mathrm{3}= \\ $$$$\alpha\left(\mathrm{2}\alpha+\mathrm{3}\right)−\mathrm{1}\left(\mathrm{2}\alpha+\mathrm{3}\right)=\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\alpha+\mathrm{3}\right)\left(\alpha−\mathrm{1}\right)=\mathrm{0} \\ $$$${eqn}\:{circle} \\ $$$$\left({x}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\left({y}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{1} \\ $$$$\left({x}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\left({y}+\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\left(\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \\ $$$${ok}...{i}\:{am}\:{completing} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{y}+\mathrm{2}=\mathrm{1} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}{x}−\mathrm{2}{y}+\mathrm{1}=\mathrm{0}\rightarrow{first}\:{eqn} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{3}{y}+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}+\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}}=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{4}} \\ $$$${x}^{\mathrm{2}} +{y}^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{x}+\mathrm{3}{y}+\mathrm{2}.\mathrm{25}=\mathrm{0} \\ $$ | ||
Commented by bemath last updated on 02/Oct/20 | ||
$$\mathrm{not}\:\mathrm{complete}\:\mathrm{sir}? \\ $$ | ||
Commented by bemath last updated on 02/Oct/20 | ||
$$\mathrm{i}'\mathrm{m}\:\mathrm{got}\:\mathrm{4}\:\mathrm{equation}\:\mathrm{of}\:\mathrm{a}\:\mathrm{circle}.\:\mathrm{it}\:\mathrm{right}? \\ $$ | ||
Answered by 1549442205PVT last updated on 02/Oct/20 | ||