Question Number 115027 by bemath last updated on 23/Sep/20 | ||
$$\mathrm{If}\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{3}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{17}\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{ax}+\mathrm{3}}\:+\mathrm{b}}{\mathrm{x}−\mathrm{3}}\:=\:\frac{\mathrm{136}}{\mathrm{27}} \\ $$$$\mathrm{then}\:\mathrm{8a}+\mathrm{b}\:=\:? \\ $$ | ||
Answered by bobhans last updated on 23/Sep/20 | ||
$${limit}\:{form}\:\frac{\mathrm{0}}{\mathrm{0}}.\:{numerator}\:{must}\:{be}\:=\:\mathrm{0} \\ $$$$\left(\mathrm{1}\right)\:\mathrm{17}\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{3}{a}+\mathrm{3}}\:+{b}\:=\mathrm{0};\:\:{b}\:\Rightarrow−\mathrm{17}\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{3}{a}+\mathrm{3}} \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{3}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\mathrm{17}\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{{ax}+\mathrm{3}}\:−\mathrm{17}\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{3}{a}+\mathrm{3}}}{{x}−\mathrm{3}}\:=\frac{\mathrm{136}}{\mathrm{27}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\underset{{x}\rightarrow\mathrm{3}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{ax}+\mathrm{3}}\:−\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{3}{a}+\mathrm{3}}}{{x}−\mathrm{3}}\:=\:\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{27}} \\ $$$${set}\:{x}=\mathrm{3}+{r}\:;\:{r}\rightarrow\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\underset{{r}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{ar}+\mathrm{3}{a}+\mathrm{3}}\:−\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{3}{a}+\mathrm{3}}}{{r}}\:=\:\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{27}} \\ $$$${remember}\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{{p}}\:−\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{q}}\:=\:\frac{{p}−{q}}{\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{p}^{\mathrm{2}} }+\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{pq}}\:+\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{{q}^{\mathrm{2}} }} \\ $$$$\:\underset{{r}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{\left({ar}+\mathrm{3}{a}+\mathrm{3}\right)−\left(\mathrm{3}{a}+\mathrm{3}\right)}{{r}\:\left(\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\left({ar}+\mathrm{3}{a}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }+\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\left(\mathrm{3}{a}+\mathrm{3}\right)\left({ar}+\mathrm{3}{a}+\mathrm{3}\right)}+\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\left(\mathrm{3}{a}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\right.}\:=\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{27}} \\ $$$$\underset{{r}\rightarrow\mathrm{0}} {\mathrm{lim}}\:\frac{{ar}}{{r}\left(\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\left({ar}+\mathrm{3}{a}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }+\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\left({ar}+\mathrm{3}{a}+\mathrm{3}\right)\left(\mathrm{3}{a}+\mathrm{3}\right)}+\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\left(\mathrm{3}{a}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }\right)}=\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{27}} \\ $$$$\Leftrightarrow\:\frac{{a}}{\mathrm{3}\:\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\left(\mathrm{3}{a}+\mathrm{3}\right)^{\mathrm{2}} }}\:=\:\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{27}}\:; \\ $$$${by}\:{inspection}\:{we}\:{get}\:{a}\:=\:\mathrm{8}\:,\:{check}\:\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}\:\left(\sqrt[{\mathrm{3}\:}]{\mathrm{24}+\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}×\mathrm{9}}\:=\:\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{27}}.\:{Then}\:{b}\:=\:−\mathrm{17}\:\sqrt[{\mathrm{3}}]{\mathrm{24}+\mathrm{3}}\:=−\mathrm{51} \\ $$$$\therefore\:\mathrm{8}{a}+{b}\:=\:\mathrm{64}−\mathrm{51}=\mathrm{13} \\ $$ | ||