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Question Number 105498 by Dwaipayan Shikari last updated on 29/Jul/20

$$\underset{{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\:\left(\underset{{k}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\prod}}\left(\frac{\mathrm{1}}{{k}}\right)\right)^{\frac{\mathrm{2}}{{n}}} \\$$

Commented by JDamian last updated on 29/Jul/20

Commented by Ar Brandon last updated on 29/Jul/20

$$\mathrm{You}\:\mathrm{mean}\:\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}\right)\right]^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}} ,\:\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}}\right)\right]^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{k}}} ,\:\underset{\mathrm{n}\rightarrow\infty} {\mathrm{lim}}\left[\underset{\mathrm{k}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\prod}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}\right)\right]^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{k}}} \\$$$$\mathrm{Or}\:\mathrm{that}'\mathrm{s}\:\mathrm{just}\:\mathrm{how}\:\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:?\:\mathrm{I}\:\mathrm{felt}\:\mathrm{it}\:\mathrm{should}\:\mathrm{be}\:\mathrm{otherwise}. \\$$

Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 29/Jul/20

$${The}\:{first}\:{one} \\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 29/Jul/20

$$\mathrm{let}\:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\left\{\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}\right)\right\}^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}\:}} \:\Rightarrow\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}\mathrm{ln}\left(\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}\right)} \\$$$$\mathrm{but}\:\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}\mathrm{ln}\left(\prod_{\mathrm{k}=\mathrm{1}} ^{\mathrm{n}} \:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{k}}\right)\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}\:\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{n}!}\right)\:=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}!\right) \\$$$$\mathrm{n}!\:\sim\:\mathrm{n}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{n}} \sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}}\:\Rightarrow\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}!\right)\:\sim\mathrm{nlnn}−\mathrm{n}\:+\mathrm{ln}\left(\sqrt{\mathrm{2}\pi}\right)\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}\right)\:\Rightarrow \\$$$$\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}!\right)\:\sim\mathrm{2ln}\left(\mathrm{n}\right)−\mathrm{2}+\mathrm{2}\frac{\mathrm{ln}\left(\sqrt{\left.\mathrm{2}\pi\right)}\right.}{\mathrm{n}}\:+\frac{\mathrm{2ln}\left(\mathrm{n}\right)}{\mathrm{n}}\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \:−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{n}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{n}!\right)\:=−\infty\:\Rightarrow\mathrm{lim}_{\mathrm{n}\rightarrow+\infty} \:\mathrm{A}_{\mathrm{n}} =\mathrm{0} \\$$

Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 29/Jul/20

$${Thanking}\:{you} \\$$

Commented by Ar Brandon last updated on 29/Jul/20

$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{Sir}.\:\mathrm{May}\:\mathrm{I}\:\mathrm{know}\:\mathrm{how}\:\mathrm{you}\:\mathrm{derived}\:\mathrm{the} \\$$$$\mathrm{identity}\:\mathrm{n}!\:\sim\:\mathrm{n}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{n}} \sqrt{\mathrm{2}\pi\mathrm{n}}\: \\$$

Commented by PRITHWISH SEN 2 last updated on 29/Jul/20

$$\mathrm{starling}\:\mathrm{approximation}\:\mathrm{for}\:\mathrm{higher}\:\mathrm{value}\:\mathrm{of}\:\mathrm{n} \\$$

Commented by Ar Brandon last updated on 29/Jul/20

OK thanks

Commented by mathmax by abdo last updated on 30/Jul/20

$$\mathrm{sir}\:\mathrm{brandon}\:\mathrm{this}\:\mathrm{is}\:\mathrm{stirling}\:\mathrm{formulae}\:\mathrm{for}\:\mathrm{the}\:\mathrm{proot}\:\mathrm{enter}\:\mathrm{to} \\$$$$\mathrm{internet}\:\mathrm{you}\:\mathrm{find}\:\mathrm{a}\:\mathrm{lots}\:\mathrm{of}\:\mathrm{methods}\:\mathrm{for}\:\mathrm{this}... \\$$