Algebra Questions

Question Number 116226 by bobhans last updated on 02/Oct/20

$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{4}}}+...+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{100}\sqrt{\mathrm{99}}+\mathrm{99}\sqrt{\mathrm{100}}} \\$$

Commented by bemath last updated on 02/Oct/20

$$\mathrm{0}.\mathrm{9} \\$$

Answered by john santu last updated on 02/Oct/20

$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}×\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}}\:=\:\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}=\mathrm{1}−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}} \\$$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\:}×\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\:\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}} \\$$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{4}}}×\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{4}}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{4}}}\:=\:\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{3}}−\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{4}}}{\mathrm{12}}=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}−\frac{\sqrt{\mathrm{4}}}{\mathrm{4}} \\$$$${then}\: \\$$$$=\:\mathrm{1}−\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}−\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{3}}−\frac{\sqrt{\mathrm{4}}}{\mathrm{4}}+...+\frac{\sqrt{\mathrm{99}}}{\mathrm{99}}−\frac{\sqrt{\mathrm{100}}}{\mathrm{100}} \\$$$$\left({telescoping}\:{series}\right) \\$$$$=\:\mathrm{1}−\frac{\sqrt{\mathrm{100}}}{\mathrm{100}}\:=\:\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\:=\:\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}}\:=\:\mathrm{0}.\mathrm{9} \\$$

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 02/Oct/20

$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}=\frac{\mathrm{2}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}} \\$$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}=\frac{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{6}}=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}} \\$$$$\mathrm{So} \\$$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}}+...=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{3}}}+.....−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{100}}} \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}=\frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}} \\$$