Algebra Questions

Question Number 105301 by Don08q last updated on 27/Jul/20

$$\mathrm{Without}\:\mathrm{using}\:\mathrm{tables}\:\mathrm{or}\:\mathrm{calculator}, \\$$$$\:{compare}\:\:\:\mathrm{6}^{\mathrm{7}} \:\mathrm{and}\:\:\:\mathrm{7}^{\mathrm{6}} \\$$

Answered by 1549442205PVT last updated on 28/Jul/20

$$\frac{\mathrm{6}^{\mathrm{7}} }{\mathrm{7}^{\mathrm{6}} }=\mathrm{6}×\left(\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{7}}\right)^{\mathrm{6}} >\mathrm{6}×\left(\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{5}}\right)^{\mathrm{6}} =\mathrm{6}×\left(\frac{\mathrm{64}}{\mathrm{125}}\right)^{\mathrm{2}} \\$$$$>\mathrm{6}×\left(\frac{\mathrm{64}}{\mathrm{128}}\right)^{\mathrm{2}} =\mathrm{6}×\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{4}}>\mathrm{1} \\$$$$\Rightarrow\mathrm{6}^{\mathrm{7}} >\mathrm{7}^{\mathrm{6}} \\$$

Commented by Don08q last updated on 28/Jul/20

$${Thank}\:{you}\:{Sir}! \\$$

Answered by JDamian last updated on 27/Jul/20

$$\mathrm{7}^{\mathrm{6}} =\left(\mathrm{6}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{6}} = \\$$$$\:\:\:\:\:=\:\mathrm{6}^{\mathrm{6}} +\mathrm{6}\centerdot\mathrm{6}^{\mathrm{5}} +\mathrm{15}\centerdot\mathrm{6}^{\mathrm{4}} +\mathrm{20}\centerdot\mathrm{6}^{\mathrm{3}} +\mathrm{15}\centerdot\mathrm{6}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}\centerdot\mathrm{6}^{\mathrm{1}} +\mathrm{1}= \\$$$$\:\:\:\:\:=\:\mathrm{2}\centerdot\mathrm{6}^{\mathrm{6}} +\mathrm{15}\centerdot\mathrm{6}^{\mathrm{4}} +\mathrm{20}\centerdot\mathrm{6}^{\mathrm{3}} +\mathrm{15}\centerdot\mathrm{6}^{\mathrm{2}} +\mathrm{6}\centerdot\mathrm{6}^{\mathrm{1}} +\mathrm{1}= \\$$$$\:\:\:\:\:=\:\mathrm{2}\centerdot\mathrm{6}^{\mathrm{6}} +\mathrm{15}\centerdot\mathrm{6}^{\mathrm{4}} +\mathrm{20}\centerdot\mathrm{6}^{\mathrm{3}} +\mathrm{16}\centerdot\mathrm{6}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1} \\$$$$\\$$$${If}\:{we}\:{divide}\:{both}\:{quantities}\:{under}\:{test}\:{by}\:\mathrm{6}^{\mathrm{6}} : \\$$$$\frac{\mathrm{6}^{\mathrm{7}} }{\mathrm{6}^{\mathrm{6}} }\:=\:\mathrm{6} \\$$$$\frac{\mathrm{7}^{\mathrm{6}} }{\mathrm{6}^{\mathrm{6}} }\:=\:\mathrm{2}\:+\:\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{6}^{\mathrm{2}} }\:+\:\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{6}^{\mathrm{3}} }\:+\:\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{6}^{\mathrm{4}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}^{\mathrm{6}} } \\$$$$\\$$$$\mathrm{6}\:>\:\mathrm{2}\:+\:\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{6}^{\mathrm{2}} }\:+\:\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{6}^{\mathrm{3}} }\:+\:\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{6}^{\mathrm{4}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}^{\mathrm{6}} } \\$$$$\mathrm{4}\:>\:\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{6}^{\mathrm{2}} }\:+\:\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{6}^{\mathrm{3}} }\:+\:\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{6}^{\mathrm{4}} }\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}^{\mathrm{6}} } \\$$$${Therefore}\:\:\:\:\:\mathrm{6}^{\mathrm{7}} >\mathrm{7}^{\mathrm{6}} \\$$

Commented by Don08q last updated on 27/Jul/20

$${Excellent}.\:{Thank}\:{you}\:{Sir}. \\$$

Commented by malwaan last updated on 27/Jul/20

$$\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{6}^{\mathrm{2}} }<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:<\mathrm{1}\:;\:\:\frac{\mathrm{20}}{\mathrm{6}^{\mathrm{3}} }<\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}}\:<\mathrm{1}\: \\$$$$\frac{\mathrm{16}}{\mathrm{6}^{\mathrm{4}} }\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{81}}\:\ll\:\mathrm{1};\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}^{\mathrm{6}} }\:\ll\:\mathrm{1} \\$$$${thank}\:{you}\:{sir}\:{JDamian} \\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 27/Jul/20

$$\mathrm{for}\:\mathrm{x}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}\:\mathrm{naturels}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}>\mathrm{y}\:\mathrm{let}\:\mathrm{compare}\:\mathrm{x}^{\mathrm{y}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{y}^{\mathrm{x}} \\$$$$\Rightarrow\mathrm{let}\:\mathrm{compare}\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{y}} \right)\:\mathrm{and}\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{y}^{\mathrm{x}} \right)\left(\mathrm{ln}\:\mathrm{is}\:\mathrm{increazing}\:\mathrm{function}..\right) \\$$$$\left.\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{ylnx}−\mathrm{xlny}\:\:\:\mathrm{for}\:\mathrm{y}\:\mathrm{fixed}\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\:\mathrm{y}\geqslant\mathrm{1}\:\mathrm{and}\:\mathrm{x}\in\right]\mathrm{y},+\infty\left[\right. \\$$$$\varphi\left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \varphi\left(\mathrm{x}\right)\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{x}\rightarrow+\infty} \mathrm{x}\left(\mathrm{y}\frac{\mathrm{lnx}}{\mathrm{x}}−\mathrm{lny}\right)\:=−\infty \\$$$$\varphi^{'} \left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}}−\mathrm{lny}\:\Rightarrow\varphi^{''} \left(\mathrm{x}\right)\:=−\frac{\mathrm{y}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }<\mathrm{0}\:\Rightarrow\varphi^{'} \:\mathrm{is}\:\mathrm{decreazing}\:\:\mathrm{and} \\$$$$\varphi^{'} \left(\mathrm{y}\right)\:=\mathrm{1}−\mathrm{lny}\:<\mathrm{0}\:\Rightarrow\varphi\:\mathrm{is}\:\mathrm{decreazing}\:\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{x}\right)<\mathrm{0}\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{ylnx}−\mathrm{xlny}\:<\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{ylnx}<\mathrm{xlny}\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{y}} <\mathrm{y}^{\mathrm{x}} \\$$$$\mathrm{x}=\mathrm{7}\:\mathrm{and}\:\mathrm{y}\:=\mathrm{6}\:\:\mathrm{x}>\mathrm{y}\:\Rightarrow\mathrm{x}^{\mathrm{y}} <\mathrm{y}^{\mathrm{x}} \:\Rightarrow\mathrm{7}^{\mathrm{6}} <\mathrm{6}^{\mathrm{7}} \\$$$$\\$$$$\\$$

Commented by Don08q last updated on 28/Jul/20

$${Thank}\:{you}\:{Sir}! \\$$

Commented by abdomsup last updated on 28/Jul/20

$${you}\:{are}\:{welcome} \\$$