Question Number 102178 by dw last updated on 07/Jul/20 | ||
Answered by 1549442205 last updated on 07/Jul/20 | ||
$$\mathrm{Putting}\:\mathrm{x}=\mathrm{tan}\alpha,\mathrm{y}=\mathrm{tan}\beta\:\mathrm{we}\:\mathrm{have} \\ $$$$\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \alpha}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\alpha},\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\beta} \\ $$$$\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }+\mathrm{y}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{tam}\alpha}{\mathrm{cos}\beta}+\frac{\mathrm{tan}\beta}{\mathrm{cos}\alpha}=\frac{\mathrm{sin}\alpha+\mathrm{sin}\beta}{\mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta}.\mathrm{Hence}, \\ $$$$\mathrm{LHS}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta}\sqrt{\mathrm{1}+\left(\frac{\mathrm{sin}\alpha+\mathrm{sin}\beta}{\mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta}\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta}\sqrt{\mathrm{1}+\left(\frac{\mathrm{sin}\alpha−\mathrm{sin}\beta}{\mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta}\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta}\sqrt{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \alpha\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \beta+\left(\mathrm{sin}\alpha+\mathrm{sin}\beta\right)^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta}\sqrt{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \alpha\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \beta+\left(\mathrm{sin}\alpha−\mathrm{sin}\beta\right)^{\mathrm{2}} } \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\::\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \alpha\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \beta=\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \alpha\right)\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \beta\right) \\ $$$$=\mathrm{1}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \alpha\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \beta−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \alpha−\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \beta,\mathrm{so} \\ $$$$=\sqrt{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \alpha\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \beta+\left(\mathrm{sin}\alpha+\mathrm{sin}\beta\right)^{\mathrm{2}} \:}=\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \alpha\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \beta+\mathrm{2sin}\alpha\mathrm{sin}\beta} \\ $$$$=\sqrt{\left(\mathrm{sin}\alpha\mathrm{sin}\beta+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }\:=\mathrm{1}+\mathrm{sin}\alpha\mathrm{sin}\beta \\ $$$$\mathrm{Similarly},=\sqrt{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \alpha\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \beta+\left(\mathrm{sin}\alpha−\mathrm{sin}\beta\right)^{\mathrm{2}} }=\mathrm{1}−\mathrm{sin}\alpha\mathrm{sin}\beta \\ $$$$\mathrm{Therefore},\mathrm{LHS}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta}\left[\left(\mathrm{1}+\mathrm{sin}\alpha\mathrm{sin}\beta\right)−\left(\mathrm{1}−\mathrm{sin}\alpha\mathrm{sin}\beta\right)\right] \\ $$$$=\frac{\mathrm{2sin}\alpha\mathrm{sin}\beta}{\mathrm{cos}\alpha\mathrm{cos}\beta}=\mathrm{2tan}\alpha\mathrm{tan}\beta=\mathrm{2xy} \\ $$$$\boldsymbol{\mathrm{Thus}},\boldsymbol{\mathrm{LHS}}=\boldsymbol{\mathrm{RHS}}\left(\boldsymbol{\mathrm{q}}.\boldsymbol{\mathrm{e}}.\boldsymbol{\mathrm{d}}\right) \\ $$$$ \\ $$ | ||
Commented by dw last updated on 07/Jul/20 | ||
$${Thank}\:{you}!\:{Your}\:{solution}\:{is}\:{very}\:{good}. \\ $$ | ||
Commented by dw last updated on 16/Jul/20 | ||
$${but}\:{I}\:{did}\:{not}\:{understand}\:! \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{cos}\alpha{cos}\beta}\left[\left(\mathrm{1}+{sin}\alpha{sin}\beta\right)−\left(\mathrm{1}−{sin}\alpha{sin}\beta\right)\right]= \\ $$$$ \\ $$$$\frac{\mathrm{1}}{{cos}\alpha{cos}\beta}\left[\left(\mathrm{1}+{sin}\alpha{sin}\beta\right)+\left(\mathrm{1}−{sin}\alpha{sin}\beta\right)\right. \\ $$$$ \\ $$ | ||