Question Number 102165 by mathmax by abdo last updated on 07/Jul/20 | ||
$$\mathrm{calculate}\:\int_{−\infty} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} } \\ $$ | ||
Answered by MAB last updated on 07/Jul/20 | ||
$${f}\left({z}\right)=\frac{{z}^{\mathrm{2}} }{\left({z}^{\mathrm{2}} −{z}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:{has}\:\mathrm{2}\:{triple}\:{poles}:\: \\ $$$${z}_{\mathrm{1}} ={e}^{{i}\frac{\pi}{\mathrm{3}}} ,{z}_{\mathrm{2}} ={e}^{−{i}\frac{\pi}{\mathrm{3}}} \\ $$$${Im}\left({z}_{\mathrm{2}} \right)<\mathrm{0}\:{and}\:{Im}\left({z}_{\mathrm{1}} \right)>\mathrm{0} \\ $$$$\int_{−\infty} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }=\mathrm{2}\pi{i}.{Res}\left({f}\left({z}\right),{z}_{\mathrm{1}} \right) \\ $$$$=\mathrm{2}\pi{i}.\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{3}−\mathrm{1}\right)!}\left(\frac{{z}^{\mathrm{2}} }{\left({z}−{z}_{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}} }\right)_{{z}={z}_{\mathrm{1}} } ^{\left(\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$${finally} \\ $$$$\:\int_{−\infty} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$$$ \\ $$$$ \\ $$ | ||
Answered by mathmax by abdo last updated on 07/Jul/20 | ||
$$\mathrm{I}\:=\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{dx}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\:\mathrm{let}\:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{z}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{3}} }\:\:\mathrm{pole}\:\mathrm{of}\:\varphi \\ $$$$\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{z}+\mathrm{1}\:=\mathrm{0}\:\rightarrow\Delta\:=−\mathrm{3}\:\Rightarrow\mathrm{z}_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}+\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:=\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{z}_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}−\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\:=\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\Rightarrow\varphi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{1}} \right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{z}−\mathrm{z}_{\mathrm{2}} \right)^{\mathrm{3}} } \\ $$$$\mathrm{the}\:\mathrm{poles}\:\mathrm{of}\:\varphi\:\mathrm{are}\:\:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:\mathrm{and}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}\:} \left(\mathrm{triples}\right)\:\:\mathrm{residus}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{give} \\ $$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\:\mathrm{and}\: \\ $$$$\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\:=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} } \:\:\frac{\mathrm{1}}{\left(\mathrm{3}−\mathrm{1}\right)!}\left\{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{3}} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\right\}^{\left(\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} } \:\:\:\:\left\{\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{3}} }\right\}^{\left(\mathrm{2}\right)} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} } \:\:\:\left\{\frac{\mathrm{2z}\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{3}} −\mathrm{3}\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{2}} \mathrm{z}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{6}} }\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \:} \:\:\:\left\{\:\frac{\mathrm{2z}\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)−\mathrm{3z}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{4}} }\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$=\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} } \:\:\:\left\{\frac{−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2z}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{4}} }\right\}^{\left(\mathrm{1}\right)} \\ $$$$−\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} } \:\:\:\frac{\left(\mathrm{2z}+\mathrm{2e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{4}} \:−\mathrm{4}\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{3}} \left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2z}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{8}} } \\ $$$$=−\mathrm{lim}_{\mathrm{z}\rightarrow\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} } \:\:\frac{\left(\mathrm{2z}+\mathrm{2e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)−\mathrm{4}\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2z}\:\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)}{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)^{\mathrm{5}} } \\ $$$$=−\:\:\:\frac{\mathrm{4cos}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)\mathrm{2isin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)−\mathrm{4}\left\{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}}} \:+\mathrm{2}\right\}}{\left(\mathrm{2isin}\left(\frac{\pi}{\mathrm{3}}\right)\right)^{\mathrm{5}} } \\ $$$$=−\frac{\mathrm{8}×\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}×\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\mathrm{i}−\mathrm{8}\:−\mathrm{4e}^{\frac{\mathrm{i2}\pi}{\mathrm{3}}} }{\mathrm{32i}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{5}} }\:=\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{i}\:−\mathrm{8}\:−\mathrm{4}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{i}\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{32i}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{5}} } \\ $$$$=\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{32i}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{5}} }×\frac{\mathrm{2}^{\mathrm{5}} }{\sqrt{\mathrm{3}}}\:=\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{i}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{6}} }\:=\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{3}^{\mathrm{3}} \mathrm{i}}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9i}}\:\Rightarrow\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi×\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{9i}}\:=\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{9}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{4}\pi}{\mathrm{9}} \\ $$ | ||
Commented by mathmax by abdo last updated on 07/Jul/20 | ||
$$\mathrm{error}\:\mathrm{at}\:\mathrm{final}\:\mathrm{line}\:\mathrm{Res}\left(\varphi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{3}}} \right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2i}}×\frac{\mathrm{6}}{\mathrm{32}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{5}} \mathrm{i}}\:=\frac{\mathrm{3}×\mathrm{2}^{\mathrm{5}} }{\mathrm{32i}×\left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{5}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{i}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{3}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{i}} \\ $$$$\Rightarrow\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\varphi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}\mathrm{i}}\:=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\Rightarrow\bigstar\:\mathrm{I}\:=\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{3}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\bigstar \\ $$ | ||
Commented by MAB last updated on 07/Jul/20 | ||
$${exact}\:{sir} \\ $$ | ||