Integration Questions

Question Number 101378 by Rohit@Thakur last updated on 02/Jul/20

$$\int_{\frac{\mathrm{1}}{{e}}} ^{{tanx}} \frac{{t}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }{dt}\:+\:\int_{\frac{\mathrm{1}}{{e}}} ^{{cotx}} \frac{\mathrm{1}}{{t}\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} \right)}{dt} \\$$

Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 02/Jul/20

$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\frac{\mathrm{1}}{{e}}} ^{{tanx}} \frac{\mathrm{2}{tdt}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} \right)\right]_{\frac{\mathrm{1}}{{e}}} ^{{tanx}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}\left({sec}^{\mathrm{2}} {x}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}\left(\frac{\mathrm{1}+{e}^{\mathrm{2}} }{{e}^{\mathrm{2}} }\right) \\$$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\frac{\mathrm{1}}{{e}}} ^{{cotx}} \frac{\frac{−\mathrm{2}{dt}}{{t}^{\mathrm{3}} }}{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} }}=\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} }\right)\right]_{\frac{\mathrm{1}}{{e}}} ^{{cotx}} =−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}\left(\frac{{cosec}^{\mathrm{2}} {x}}{{cot}^{\mathrm{2}} {x}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}\left(\mathrm{1}+{e}^{\mathrm{2}} \right) \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}\left({sec}^{\mathrm{2}} {x}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}\left(\mathrm{1}+{e}^{\mathrm{2}} \right) \\$$$$\\$$$$\\$$$${So}\:\:\int_{\frac{\mathrm{1}}{{e}}} ^{{tanx}} \frac{{t}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }+\int_{\frac{\mathrm{1}}{{e}}} ^{{cotx}} \frac{\mathrm{1}}{{t}\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} \right)}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}\left(\mathrm{1}+{e}^{\mathrm{2}} \right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}\left(\frac{\mathrm{1}+{e}^{\mathrm{2}} }{{e}^{\mathrm{2}} }\right) \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{loge}^{\mathrm{2}} =\mathrm{1}\:\:\:\:\:\:\:\bigstar\blacksquare\mathscr{L} \\$$

Answered by 1549442205 last updated on 02/Jul/20

$$\mathrm{A}=\int\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\frac{\mathrm{d}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right) \\$$$$\mathrm{B}=\int\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)}.\mathrm{Putting}\:\mathrm{t}=\mathrm{tan}\:\mathrm{u}\Rightarrow\mathrm{dt} \\$$$$\:\Rightarrow\begin{cases}{\mathrm{dt}=\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{du}}\\{\mathrm{sin}\:\mathrm{u}=\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{cot}^{\mathrm{2}} \mathrm{u}}}=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}}=\frac{\mathrm{t}}{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}}\end{cases} \\$$$$\Rightarrow\mathrm{B}=\int\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{tan}\:\mathrm{u}}=\int\frac{\mathrm{cos}\:\mathrm{u}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{u}}\mathrm{du}=\int\frac{\mathrm{dsin}\:\mathrm{u}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{u}} \\$$$$=\mathrm{ln}\mid\mathrm{sin}\:\mathrm{u}\mid=\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{t}}{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}\mid\mathrm{Hence}, \\$$$$\int_{\frac{\mathrm{1}}{{e}}} ^{{tanx}} \frac{{t}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }{dt}\:+\:\int_{\frac{\mathrm{1}}{{e}}} ^{{cotx}} \frac{\mathrm{1}}{{t}\left(\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} \right)}{dt}= \\$$$$\mathrm{A}\left(\mathrm{tan}\:\mathrm{x}\right)−\mathrm{A}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}\right)+\mathrm{B}\left(\mathrm{cotx}\right)−\mathrm{B}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}\right) \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{2}} \right)+\mathrm{ln}\mid\mathrm{cos}\:\mathrm{x}\mid \\$$$$−\mathrm{ln}\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{2}} }}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{2}} \right)+\mathrm{ln}\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{e}^{\mathrm{2}} } \\$$$$=\boldsymbol{\mathrm{ln}}\frac{\sqrt{\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{e}}^{\mathrm{2}} }}{\sqrt{\mathrm{1}+\boldsymbol{\mathrm{e}}^{−\mathrm{2}} }}=\boldsymbol{\mathrm{lne}}=\mathrm{1} \\$$$$\\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 02/Jul/20

$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}} ^{\mathrm{tanx}\:} \:\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}} ^{\mathrm{tanx}} \:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{2}} \right) \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cos}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{2}} \right)\:=−\mathrm{ln}\mid\mathrm{cosx}\mid\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{2}} \right) \\$$$$\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}} ^{\mathrm{cotanx}\:} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)}\:=\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tanx}}} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}−\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{dt}\:=\left[\mathrm{ln}\mid\mathrm{t}\mid\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tanx}}} \:−\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tanx}}} \\$$$$=−\mathrm{ln}\mid\mathrm{tanx}\mid+\mathrm{1}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{2}} \right) \\$$$$=−\mathrm{ln}\mid\mathrm{tanx}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)+\mathrm{ln}\mid\mathrm{tanx}\mid\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{2}} \right)+\mathrm{1}\:\Rightarrow \\$$$$\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}} ^{\mathrm{tanx}\:} \:\frac{\mathrm{tdt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:+\int_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{e}}} ^{\mathrm{cotanx}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{2}} \right) \\$$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{tan}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{2}} \right)\:+\mathrm{1}\:=\mathrm{1} \\$$