Integration Questions

Question Number 100967 by mathmax by abdo last updated on 29/Jun/20

$$\mathrm{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{2}+\:\mathrm{sin}\theta\right)\mathrm{d}\theta \\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 01/Jul/20

$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}+\mathrm{sin}\theta\right)\mathrm{d}\theta\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\left(\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\theta\right)\right)\mathrm{d}\theta \\$$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}\theta\right)\mathrm{d}\theta\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{asin}\theta\right)\mathrm{d}\theta\:\mathrm{with}\:\mathrm{0}<\mathrm{a}<\mathrm{1} \\$$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\frac{\mathrm{sin}\theta}{\mathrm{1}+\mathrm{asin}\theta}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\frac{\mathrm{1}+\mathrm{asin}\theta\:−\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{asin}\theta}\mathrm{d}\theta \\$$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2a}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\frac{\mathrm{d}\theta}{\mathrm{1}+\mathrm{asin}\theta}\:=_{\mathrm{tan}\left(\frac{\theta}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{t}} \:\:\frac{\pi}{\mathrm{2a}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2dt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}×\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)} \\$$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2a}}\:−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{a}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2at}}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{have}\: \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2at}\:+\mathrm{1}}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2at}\:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}+\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } \\$$$$=_{\mathrm{t}+\mathrm{a}\:=\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{u}} \:\:\:\:\int_{\frac{\mathrm{a}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}} ^{\frac{\mathrm{1}+\mathrm{a}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}} \:\:\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{du}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \right)} \\$$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}}×\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{a}}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}\right)}\:\int_{\frac{\mathrm{a}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}} ^{\frac{\mathrm{1}+\mathrm{a}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}} \:\:\:\:\:\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\:\left\{\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{a}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\right)−\mathrm{arctn}\left(\frac{\mathrm{a}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\right)\right\}\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \:\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }}\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{z}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }}\right)\mathrm{dz}−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \:\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }}\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{z}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }}\right)\:+\mathrm{c} \\$$$$\mathrm{c}\:=\mathrm{f}\left(\mathrm{0}\right)\:=\mathrm{0}\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \:\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }}\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{z}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }}\right)\mathrm{dz}\:−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{a}} \:\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }}\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{z}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }}\right)\mathrm{dz} \\$$$$\mathrm{I}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{f}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right) \\$$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }}\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}+\mathrm{z}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }}\right)−\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}\:}} \:\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }}\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{z}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }}\right)\mathrm{dz} \\$$$$\mathrm{rest}\:\mathrm{calculus}\:\mathrm{of}\:\mathrm{this}\:\mathrm{integrals}.... \\$$$$\\$$