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Question Number 84370 by Roland Mbunwe last updated on 12/Mar/20

1.) ∣x∣ +∣x+2∣ <5 2.) ∣x∣ +∣x+2∣ + ∣2−x∣ ≤8

$$\left.\mathrm{1}.\right)\:\mid{x}\mid\:+\mid{x}+\mathrm{2}\mid\:<\mathrm{5} \\ $$ $$\left.\mathrm{2}.\right)\:\mid{x}\mid\:+\mid{x}+\mathrm{2}\mid\:+\:\mid\mathrm{2}−{x}\mid\:\leqslant\mathrm{8} \\ $$

Answered by john santu last updated on 12/Mar/20

1.) (i) x≥0 ⇒ 2x < 3 , x<(3/2) ⇒ 0 ≤ x < (3/2) (ii) −2<x<0 ⇒−x+x+2< 5 , x∈R ⇒ −2<x<0 (iii) x <−2 ⇒ −2x−2<5 −2x < 7 , x > −(7/2) ⇒ −(7/2)<x<−2 solution (i)∪(ii)∪(iii) −(7/2)<x<(3/2)

$$\left.\mathrm{1}.\right)\:\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{0}\:\Rightarrow\:\mathrm{2x}\:<\:\mathrm{3}\:,\:\mathrm{x}<\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}\: \\ $$ $$\Rightarrow\:\mathrm{0}\:\leqslant\:\mathrm{x}\:<\:\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$ $$\left(\mathrm{ii}\right)\:−\mathrm{2}<\mathrm{x}<\mathrm{0}\:\Rightarrow−\mathrm{x}+\mathrm{x}+\mathrm{2}<\:\mathrm{5}\:,\:\mathrm{x}\in\mathbb{R} \\ $$ $$\Rightarrow\:−\mathrm{2}<\mathrm{x}<\mathrm{0} \\ $$ $$\left(\mathrm{iii}\right)\:\mathrm{x}\:<−\mathrm{2}\:\Rightarrow\:−\mathrm{2x}−\mathrm{2}<\mathrm{5} \\ $$ $$−\mathrm{2x}\:<\:\mathrm{7}\:,\:\mathrm{x}\:>\:−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\:−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}<\mathrm{x}<−\mathrm{2} \\ $$ $$\mathrm{solution}\:\left(\mathrm{i}\right)\cup\left(\mathrm{ii}\right)\cup\left(\mathrm{iii}\right) \\ $$ $$−\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{2}}<\mathrm{x}<\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}} \\ $$ $$ \\ $$

Commented byjagoll last updated on 12/Mar/20

thank you

$$\mathrm{thank}\:\mathrm{you} \\ $$

Answered by john santu last updated on 12/Mar/20

2.) ∣x∣ +∣x+2∣+∣x−2∣ ≤ 8 (i) x≥2 ⇒3x ≤ 8 , x ≤ (8/3) ⇒2≤x≤(8/3) (ii) 0≤x<2 ⇒ 2x+2−x+2≤8 x ≤ 4 ⇒ 0≤x<2 (iii) x<−2 ⇒−x−x−2−x+2≤8 −3x ≤8 , x ≥−(8/3) ⇒−(8/3)≤x<−2 (iv) −2<x<0 ⇒−x+x+2−x−2≤8 ⇒x ≥−8 ⇒ −2<x<0 the solution :−(8/3)≤x<0∨ 0 ≤x≤(8/3) ⇒ −(8/3)≤x≤(8/3)

$$\left.\mathrm{2}.\right)\:\mid\mathrm{x}\mid\:+\mid\mathrm{x}+\mathrm{2}\mid+\mid\mathrm{x}−\mathrm{2}\mid\:\leqslant\:\mathrm{8} \\ $$ $$\left(\mathrm{i}\right)\:\mathrm{x}\geqslant\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{3x}\:\leqslant\:\mathrm{8}\:,\:\mathrm{x}\:\leqslant\:\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{2}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}} \\ $$ $$\left(\mathrm{ii}\right)\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{x}<\mathrm{2}\:\Rightarrow\:\mathrm{2x}+\mathrm{2}−\mathrm{x}+\mathrm{2}\leqslant\mathrm{8} \\ $$ $$\mathrm{x}\:\leqslant\:\mathrm{4}\:\Rightarrow\:\mathrm{0}\leqslant\mathrm{x}<\mathrm{2} \\ $$ $$\left(\mathrm{iii}\right)\:\mathrm{x}<−\mathrm{2}\:\Rightarrow−\mathrm{x}−\mathrm{x}−\mathrm{2}−\mathrm{x}+\mathrm{2}\leqslant\mathrm{8} \\ $$ $$−\mathrm{3x}\:\leqslant\mathrm{8}\:,\:\mathrm{x}\:\geqslant−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}} \\ $$ $$\Rightarrow−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{x}<−\mathrm{2} \\ $$ $$\left(\mathrm{iv}\right)\:−\mathrm{2}<\mathrm{x}<\mathrm{0}\:\Rightarrow−\mathrm{x}+\mathrm{x}+\mathrm{2}−\mathrm{x}−\mathrm{2}\leqslant\mathrm{8} \\ $$ $$\Rightarrow\mathrm{x}\:\geqslant−\mathrm{8}\:\Rightarrow\:−\mathrm{2}<\mathrm{x}<\mathrm{0} \\ $$ $$\mathrm{the}\:\mathrm{solution}\::−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{x}<\mathrm{0}\vee \\ $$ $$\mathrm{0}\:\leqslant\mathrm{x}\leqslant\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\:\Rightarrow\:\:−\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}\leqslant\mathrm{x}\leqslant\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}} \\ $$

Commented byjagoll last updated on 12/Mar/20

good sir

$$\mathrm{good}\:\mathrm{sir} \\ $$

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