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Question Number 147576 by qaz last updated on 22/Jul/21

(1)::     Σ_(i=1) ^n Σ_(j=1) ^n ∣i−j∣=?  (2)::     Σ_(i=1) ^n Σ_(j=i) ^n (1/j)=?  (3)::      Σ_(i=1) ^n^2  [(√i)]=?

$$\left(\mathrm{1}\right)::\:\:\:\:\:\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\underset{\mathrm{j}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\mid\mathrm{i}−\mathrm{j}\mid=? \\ $$$$\left(\mathrm{2}\right)::\:\:\:\:\:\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\underset{\mathrm{j}=\mathrm{i}} {\overset{\mathrm{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{j}}=? \\ $$$$\left(\mathrm{3}\right)::\:\:\:\:\:\:\underset{\mathrm{i}=\mathrm{1}} {\overset{\mathrm{n}^{\mathrm{2}} } {\sum}}\left[\sqrt{\mathrm{i}}\right]=? \\ $$

Answered by gsk2684 last updated on 22/Jul/21

i)Σ_(i=1) ^n Σ_(j=1) ^n ∣i−j∣=    0+1+2+3+...+(n−1)                                   +1+0+1+2+...+(n−2)                                   +2+1+0+1+...+(n−3)                                   +......                                   +(n−2)+(n−3)+...+1                                   +(n−1)+(n−2)+...+0                               =n(0)+2(n−1)(1)+2(n−2)(2)+...2(1)(n−1)                               =Σ_(j=0) ^(n−1) 2j(n−j)                               =2{nΣ_(j=0) ^(n−1) j−Σ_(j=0) ^(n−1) j^2 }                               =2{n(((n−1)(n−1+1))/2)−(((n−1)(n−1+1)(2(n−1)+1))/6)}                               =2{((n^2 (n−1))/2)−((n(n−1)(2n−1))/6)}                               =2((n(n−1))/6){3n−2n+1}                               =((n(n−1)(n+1))/3)  Σ_(i=1) ^n Σ_(j=1) ^n ∣i−j∣=((n(n^2 −1))/3)    ii)Σ_(i=1) ^n Σ_(j=i) ^n (1/j)=(1/1)+(1/2)+(1/3)+...+(1/n)                             +(1/2)+(1/3)+...+(1/n)                                      +(1/3)+...+(1/n)                                                +........                                                        +(1/n)                  =1+1+1+...+1   Σ_(i=1) ^n Σ_(j=i) ^n (1/j)=n    iii)Σ_(i=1) ^n^2  [(√i)]=Σ_(i=1^2 ) ^(2^2 −1) 1+Σ_(i=2^2 ) ^(3^2 −1) 2+Σ_(i=3^2 ) ^(4^2 −1) 3+...+Σ_(i=(n−1)^2 ) ^(n^2 −1) (n−1)+[(√n^2 )]               =3(1)+5(2)+7(3)+...+(2n−1)(n−1)+n              =Σ_(j=1) ^(n−1) j(2j+1)+n              =Σ_(j=1) ^(n−1) (2j^2 +j)+n              =2Σ_(j=1) ^(n−1) j^2 +Σ_(j=1) ^(n−1) j+n              =2(((n−1)(n−1+1)(2(n−1)+1))/6)+(((n−1)(n−1+1))/2)+n              =((n(n−1)(2n−1))/3)+((n(n−1))/2)+n              =n{(((n−1)(2n−1))/3)+(((n−1))/2)+1}             =(n/6){2(2n^2 −3n+1)+3(n−1)+6}             =(n/6){4n^2 −6n+2+3n−3+6}             =(n/6){4n^2 −3n+5}  Σ_(i=1) ^n^2  [(√i)]=((n(4n^2 −3n+5))/6)

$$\left.{i}\right)\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mid{i}−{j}\mid=\:\:\:\:\mathrm{0}+\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{3}+...+\left({n}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{1}+\mathrm{0}+\mathrm{1}+\mathrm{2}+...+\left({n}−\mathrm{2}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\mathrm{2}+\mathrm{1}+\mathrm{0}+\mathrm{1}+...+\left({n}−\mathrm{3}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+...... \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\left({n}−\mathrm{2}\right)+\left({n}−\mathrm{3}\right)+...+\mathrm{1} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\left({n}−\mathrm{1}\right)+\left({n}−\mathrm{2}\right)+...+\mathrm{0} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={n}\left(\mathrm{0}\right)+\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{2}\right)\left(\mathrm{2}\right)+...\mathrm{2}\left(\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{2}{j}\left({n}−{j}\right) \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\left\{{n}\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{j}−\underset{{j}=\mathrm{0}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{j}^{\mathrm{2}} \right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\left\{{n}\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}−\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\left\{\frac{{n}^{\mathrm{2}} \left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}−\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}\left\{\mathrm{3}{n}−\mathrm{2}{n}+\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\mid{i}−{j}\mid=\frac{{n}\left({n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}} \\ $$$$ \\ $$$$\left.{ii}\right)\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}={i}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{j}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+...+\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+...+\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+...+\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+........ \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:+\frac{\mathrm{1}}{{n}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{1}+\mathrm{1}+\mathrm{1}+...+\mathrm{1} \\ $$$$\:\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}} {\sum}}\underset{{j}={i}} {\overset{{n}} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{j}}={n} \\ $$$$ \\ $$$$\left.{iii}\right)\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} } {\sum}}\left[\sqrt{{i}}\right]=\underset{{i}=\mathrm{1}^{\mathrm{2}} } {\overset{\mathrm{2}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{1}+\underset{{i}=\mathrm{2}^{\mathrm{2}} } {\overset{\mathrm{3}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{2}+\underset{{i}=\mathrm{3}^{\mathrm{2}} } {\overset{\mathrm{4}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\mathrm{3}+...+\underset{{i}=\left({n}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} } {\overset{{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} {\sum}}\left({n}−\mathrm{1}\right)+\left[\sqrt{{n}^{\mathrm{2}} }\right] \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{3}\left(\mathrm{1}\right)+\mathrm{5}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{7}\left(\mathrm{3}\right)+...+\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}\right)+{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{j}\left(\mathrm{2}{j}+\mathrm{1}\right)+{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}\left(\mathrm{2}{j}^{\mathrm{2}} +{j}\right)+{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{j}^{\mathrm{2}} +\underset{{j}=\mathrm{1}} {\overset{{n}−\mathrm{1}} {\sum}}{j}+{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\mathrm{2}\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}\left({n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{6}}+\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left({n}−\mathrm{1}+\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}+{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}+\frac{{n}\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}+{n} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:={n}\left\{\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{2}{n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{3}}+\frac{\left({n}−\mathrm{1}\right)}{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{{n}}{\mathrm{6}}\left\{\mathrm{2}\left(\mathrm{2}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{n}+\mathrm{1}\right)+\mathrm{3}\left({n}−\mathrm{1}\right)+\mathrm{6}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{{n}}{\mathrm{6}}\left\{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{6}{n}+\mathrm{2}+\mathrm{3}{n}−\mathrm{3}+\mathrm{6}\right\} \\ $$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\frac{{n}}{\mathrm{6}}\left\{\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{n}+\mathrm{5}\right\} \\ $$$$\underset{{i}=\mathrm{1}} {\overset{{n}^{\mathrm{2}} } {\sum}}\left[\sqrt{{i}}\right]=\frac{{n}\left(\mathrm{4}{n}^{\mathrm{2}} −\mathrm{3}{n}+\mathrm{5}\right)}{\mathrm{6}} \\ $$$$\:\:\:\:\:\: \\ $$

Commented by qaz last updated on 22/Jul/21

thanks a lot sir

$$\mathrm{thanks}\:\mathrm{a}\:\mathrm{lot}\:\mathrm{sir} \\ $$

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