Question Number 53228 by maxmathsup by imad last updated on 19/Jan/19 | ||
$$\left.\mathrm{1}\right)\:{find}\:{f}\left({a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:\frac{{dx}}{\left({ax}+\mathrm{1}\right)\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}}\:\:\:{with}\:\:{a}>\mathrm{0} \\ $$ $$\left.\mathrm{2}\right)\:{calculate}\:{f}^{'} \left({a}\right) \\ $$ $$\left.\mathrm{3}\right){find}\:{the}\:{value}\:{of}\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{xdx}}{\left({ax}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}} \\ $$ $$\left.\mathrm{4}\right)\:{calculate}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:\frac{{dx}}{\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}}\:{and}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:\frac{{xdx}}{\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}} \\ $$ | ||
Commented byAbdo msup. last updated on 20/Jan/19 | ||
$$\left.\mathrm{1}\right){we}\:{have}\:{x}^{\mathrm{2}} −{x}\:+\mathrm{1}\:=\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}}\:{changement} \\ $$ $${x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:=\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}{sh}\left({t}\right)\:{give}\: \\ $$ $${f}\left({a}\right)\:=\:\int_{{argsh}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{3}}}\right)} ^{{argsh}\left(\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{3}}}\right)} \:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\left({a}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}{sh}\left({t}\right)\right)+\mathrm{1}\right)\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}{ch}\left({t}\right)}\frac{\sqrt{\mathrm{3}}}{\mathrm{2}}{ch}\left({t}\right){dt} \\ $$ $$=\int_{{ln}\left(−\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\frac{\mathrm{2}}{\sqrt{\mathrm{3}}}\right)} ^{{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{3}}}\:+\frac{\mathrm{2}}{\sqrt{\mathrm{3}}}\right)} \:\:\:\frac{\mathrm{2}{dt}}{{a}\:+{a}\sqrt{\mathrm{3}}{sh}\left({t}\right)+\mathrm{2}} \\ $$ $$=\int_{{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{3}}}\right)} ^{{ln}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)} \:\:\:\frac{\mathrm{2}{dt}}{{a}+{a}\sqrt{\mathrm{3}}\frac{{e}^{{t}} −{e}^{−{t}} }{\mathrm{2}}+\mathrm{2}} \\ $$ $$=\:\mathrm{4}\:\int_{{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{3}}}\right)} ^{{ln}\left(\sqrt{\mathrm{3}}\right)} \:\:\:\:\frac{{dt}}{\mathrm{2}{a}\:+{a}\sqrt{\mathrm{3}}\left({e}^{{t}} −{e}^{−{t}} \right)+\mathrm{4}} \\ $$ $$=_{{e}^{{t}} ={u}} \:\:\:\:\mathrm{4}\:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{3}}}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \:\:\:\:\:\:\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}{a}+{a}\sqrt{\mathrm{3}}\left({u}−{u}^{−\mathrm{1}} \right)+\mathrm{4}}\:\frac{{du}}{{u}} \\ $$ $$=\mathrm{4}\:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{3}}}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \:\:\:\:\:\:\:\frac{{du}}{\mathrm{2}{au}\:+{a}\sqrt{\mathrm{3}}{u}^{\mathrm{2}} \:−{a}\sqrt{\mathrm{3}}\:+\mathrm{4}{u}} \\ $$ $$=\mathrm{4}\:\int_{\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{3}}}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \:\:\:\frac{{du}}{{a}\sqrt{\mathrm{3}}{u}^{\mathrm{2}} \:+\left(\mathrm{2}{a}+\mathrm{4}\right){u}−{a}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$ $${roots}\:{of}\:{p}\left({u}\right)={a}\sqrt{\mathrm{3}}{u}^{\mathrm{2}} +\left(\mathrm{2}{a}+\mathrm{4}\right){u}−{a}\sqrt{\mathrm{3}} \\ $$ $$\Delta^{'} =\left({a}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} \:={a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{a}\:+\mathrm{4}\:+\mathrm{3}{a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{4}{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{a}\:+ \\ $$ $${u}_{\mathrm{1}} =\frac{−{a}−\mathrm{2}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}{{a}\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$ $${u}_{\mathrm{2}} =\frac{−{a}−\mathrm{2}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}{{a}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\Rightarrow \\ $$ $${F}\left({u}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{{a}\sqrt{\mathrm{3}}\left({u}−{u}_{\mathrm{1}} \right)\left({u}−{u}_{\mathrm{2}} \right)} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{{a}\sqrt{\mathrm{3}}}\frac{\mathrm{1}}{{u}_{\mathrm{1}} −{u}_{\mathrm{2}} }\left\{\:\frac{\mathrm{1}}{{u}−{u}_{\mathrm{1}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{{u}−{u}_{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{{a}\sqrt{\mathrm{3}}}\:\frac{\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}{{a}\sqrt{\mathrm{3}}}}\:\left\{\frac{\mathrm{1}}{{u}−{u}_{\mathrm{1}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{{u}−{u}_{\mathrm{2}} }\right\} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}\left\{\frac{\mathrm{1}}{{u}−{u}_{\mathrm{1}} }\:−\frac{\mathrm{1}}{{u}−{u}_{\mathrm{2}} }\right\}?\:\Rightarrow \\ $$ $${f}\left({a}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}\:\left[{ln}\mid\frac{{u}−{u}_{\mathrm{1}} }{{u}−{u}_{\mathrm{2}} }\mid\right]_{\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{3}}}} ^{\sqrt{\mathrm{3}}} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}\left\{{ln}\mid\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−{u}_{\mathrm{1}} }{\sqrt{\mathrm{3}}−{u}_{\mathrm{2}} }\mid−{ln}\mid\frac{\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{3}}}−{u}_{\mathrm{1}} }{\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{3}}}−{u}_{\mathrm{2}} }\mid\right\} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}\left\{{ln}\mid\frac{\sqrt{\mathrm{3}}−\frac{−{a}−\mathrm{2}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}{{a}\sqrt{\mathrm{3}}}}{\sqrt{\mathrm{3}}−\frac{−{a}−\mathrm{2}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}{{a}\sqrt{\mathrm{3}}}}\mid\right. \\ $$ $$−{ln}\mid\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{3}}\frac{−{a}−\mathrm{2}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}{{a}\sqrt{\mathrm{3}}}}{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{3}}\frac{−{a}−\mathrm{2}\:−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}{{a}\sqrt{\mathrm{3}}}}\mid \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}\left\{\:{ln}\mid\frac{\mathrm{4}{a}+\mathrm{2}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{4}{a}+\mathrm{2}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}\mid\right. \\ $$ $$\left.−{ln}\mid\:\frac{\mathrm{2}{a}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}{a}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{2}\:+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}\mid\right\} \\ $$ $$\Rightarrow{f}\left({a}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}\left\{\:{ln}\mid\frac{\mathrm{2}{a}+\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}{a}+\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}\mid\right. \\ $$ $$\left.−{ln}\mid\frac{{a}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}{{a}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}\:+\sqrt{\mathrm{1}+{a}+{a}^{\mathrm{2}} }}\mid\right\}\:. \\ $$ $$ \\ $$ | ||
Commented byAbdo msup. last updated on 20/Jan/19 | ||
$${we}\:{have}\:{f}^{'} \left({a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{−{xdx}}{\left({ax}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+\mathrm{1}}}\:\Rightarrow \\ $$ $$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{xdx}}{\left({ax}+\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}\:+\mathrm{1}}}\:=−{f}^{'} \left({a}\right)\:{rest}\:{calculus}\:{of} \\ $$ $${f}^{'} \left({a}\right)..{be}\:{continued}... \\ $$ | ||
Commented byAbdo msup. last updated on 20/Jan/19 | ||
$$\left.\mathrm{4}\right)\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\:\:\:\frac{{dx}}{\left(\mathrm{2}{x}+\mathrm{1}\right)\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}\:+\mathrm{1}}}\:={f}\left(\mathrm{2}\right) \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}\:+\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }}\left\{{ln}\mid\frac{\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }}\mid−{ln}\mid\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{2}+\mathrm{2}^{\mathrm{2}} }}\mid\right\} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{7}}}\left\{{ln}\mid\frac{\mathrm{5}+\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{5}−\sqrt{\mathrm{7}}}\mid−{ln}\mid\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{7}}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{3}}+\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{7}}}\mid\right\}\:. \\ $$ $$ \\ $$ | ||