Question Number 81719 by mathmax by abdo last updated on 14/Feb/20 | ||
$$\left.\mathrm{1}\right)\:{find}\:\int\:\:\:\frac{{dx}}{\left({x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{5}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{9}} } \\ $$$$ \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\:{calculate}\:\int_{\mathrm{4}} ^{+\infty} \:\frac{{dx}}{\left({x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{5}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{9}} } \\ $$ | ||
Commented by mathmax by abdo last updated on 15/Feb/20 | ||
$${let}\:{A}\:=\int\:\:\frac{{dx}}{\left({x}+\mathrm{2}\right)^{\mathrm{5}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{9}} }\:\Rightarrow{A}\:=\int\:\:\frac{{dx}}{\left(\frac{{x}+\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{5}} \left({x}−\mathrm{3}\right)^{\mathrm{14}} } \\ $$$${we}\:{use}\:{the}\:{changement}\:\frac{{x}+\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{3}}\:={t}\:\Rightarrow{x}+\mathrm{2}={tx}−\mathrm{3}{t}\:\Rightarrow\left(\mathrm{1}−{t}\right){x}=−\mathrm{2}−\mathrm{3}{t} \\ $$$$\Rightarrow\left({t}−\mathrm{1}\right){x}=\mathrm{3}{t}+\mathrm{2}\:\Rightarrow{x}=\frac{\mathrm{3}{t}+\mathrm{2}}{{t}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow{x}−\mathrm{3}=\frac{\mathrm{3}{t}+\mathrm{2}}{{t}−\mathrm{1}}−\mathrm{3}\:=\frac{\mathrm{3}{t}+\mathrm{2}−\mathrm{3}{t}+\mathrm{3}}{{t}−\mathrm{1}} \\ $$$$=\frac{\mathrm{5}}{{t}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow{dx}\:=\frac{−\mathrm{5}}{\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} }{dt}\:\Rightarrow \\ $$$${A}\:=\:\int\:\:\frac{−\mathrm{5}}{\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:{t}^{\mathrm{5}} \left(\frac{\mathrm{5}}{{t}−\mathrm{1}}\right)^{\mathrm{14}} }{dt}\:=\frac{−\mathrm{5}}{\mathrm{5}^{\mathrm{14}} }\:\int\:\:\frac{\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{14}} }{\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} \:{t}^{\mathrm{5}} }{dt} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{13}} }\:\int\:\:\frac{\left({t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{12}} }{{t}^{\mathrm{5}} }{dt} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{13}} }\:\int\:\frac{\sum_{{k}=\mathrm{0}} ^{\mathrm{12}} {C}_{\mathrm{12}} ^{{k}} \:{t}^{{k}} \left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{12}−{k}} }{{t}^{\mathrm{5}} }{dt} \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{13}} }\:\int\:\:\frac{{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{0}} \:−{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{1}} {t}+{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{2}} \:{t}^{\mathrm{2}} −{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{3}} \:{t}^{\mathrm{3}} +{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{4}} \:{t}^{\mathrm{4}} \:−{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{5}} \:{t}^{\mathrm{5}} \:+{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{6}} \:{t}^{\mathrm{6}} \:−{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{7}} \:{t}^{\mathrm{7}} +{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{8}} {t}^{\mathrm{8}} \:−{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{9}} \:{t}^{\mathrm{9}} \:+{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{10}} \:{t}^{\mathrm{10}} \:−{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{11}} \:{t}^{\mathrm{11}} +{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{12}} \:{t}^{\mathrm{12}} }{{t}^{\mathrm{5}} }{dt}\: \\ $$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}^{\mathrm{13}} }\:\int\left(\frac{\:{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{0}} }{{t}^{\mathrm{5}} }\:−\frac{{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{1}} }{{t}^{\mathrm{4}} }\:+\frac{{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{2}} }{{t}^{\mathrm{3}} }−\frac{{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{3}} }{{t}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{4}} }{{t}}−{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{5}} \:+{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{6}} \:{t}\:−{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{7}} \:{t}^{\mathrm{2}} +{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{8}} \:{t}^{\mathrm{3}} −{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{9}} \:{t}^{\mathrm{4}} \:+{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{10}} \:{t}^{\mathrm{5}} \:−{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{11}} \:{t}^{\mathrm{6}} \:+{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{12}} \:{t}^{\mathrm{7}} \right){dt} \\ $$$$\left(−\mathrm{5}^{\mathrm{13}} \right){A}\:=−\frac{{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{0}} }{\mathrm{4}{t}^{\mathrm{4}} }+\frac{{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{1}} }{\mathrm{3}{t}^{\mathrm{3}} }\:−\frac{{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{3}} }{{t}}+{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{4}} {ln}\mid{t}\mid−{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{5}} \:{t}+\frac{{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{6}} }{\mathrm{2}}{t}^{\mathrm{2}} −\frac{{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{7}} }{\mathrm{3}}{t}^{\mathrm{3}} \:+\frac{{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{8}} }{\mathrm{4}}{t}^{\mathrm{4}} \:−\frac{{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{9}} }{\mathrm{5}}{t}^{\mathrm{5}} \:+\frac{{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{10}} }{\mathrm{6}}{t}^{\mathrm{6}} \:−\frac{{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{11}} }{\mathrm{7}}{t}^{\mathrm{7}} +\:\frac{{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{12}} }{\mathrm{8}}{t}^{\mathrm{8}} \:+{C} \\ $$$$\left(−\mathrm{5}^{\mathrm{13}} \right){A}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{0}} \:\left(\frac{{x}−\mathrm{3}}{{x}+\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{4}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{1}} \left(\frac{{x}−\mathrm{3}}{{x}+\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{3}} \:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{2}} \left(\frac{{x}−\mathrm{3}}{{x}+\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} \:+{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{3}} \left(\frac{{x}−\mathrm{3}}{{x}+\mathrm{2}}\right) \\ $$$${C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{4}} {ln}\mid\frac{{x}+\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{3}}\mid−{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{5}} \left(\frac{{x}+\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{3}}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{6}} \left(\frac{{x}+\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{7}} \left(\frac{{x}+\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{3}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{8}} \left(\frac{{x}+\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{4}} \\ $$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}}\:{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{9}} \:\left(\frac{{x}+\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{5}} +\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{6}}\:{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{10}} \:\left(\frac{{x}+\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{6}} \:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{7}}\:{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{11}} \:\left(\frac{{x}+\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{7}} \:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\:{C}_{\mathrm{12}} ^{\mathrm{12}} \:\left(\frac{{x}+\mathrm{2}}{{x}−\mathrm{3}}\right)^{\mathrm{8}} \:+{C} \\ $$$${so}\:{the}\:{value}\:{of}\:{integral}\:{A}\:{is}\:{known} \\ $$$$ \\ $$ | ||