Question Number 77755 by abdomathmax last updated on 09/Jan/20 | ||
$$\left.\mathrm{1}\right){calculste}\:\:{f}\left({a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{{dx}}{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+{a}}}\:\:{with}\:\:{a}\:>\mathrm{1} \\ $$ $$\left.\mathrm{2}\right)\:{calculate}\:{f}^{'} \left({a}\right)\:{at}\:{form}\:{of}\:{integral}\:{then}\:\:{find} \\ $$ $${its}\:{value}. \\ $$ $$ \\ $$ $$ \\ $$ | ||
Commented bymathmax by abdo last updated on 11/Jan/20 | ||
$${forgive}\:{f}\left({a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{dx}}{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+{a}}}\:{with}\:{a}>\mathrm{1} \\ $$ | ||
Commented bymathmax by abdo last updated on 11/Jan/20 | ||
$${f}\left({a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{dx}}{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+{a}}}\:\:{we}\:{have}\:{x}^{\mathrm{2}} −{x}+{a}={x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\frac{{x}}{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}+{a}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\ $$ $$=\left({x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\frac{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\:{and}\:\frac{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{4}}>\mathrm{0}\:\:{fhangement}\:{x}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}=\frac{\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}{u} \\ $$ $${give}\:{f}\left({a}\right)\:=\int_{−\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}} \:\frac{\mathrm{1}}{\frac{\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}\left(\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }\right.}×\frac{\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}{\mathrm{2}}{du} \\ $$ $$=\int_{\frac{−\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}} \:\frac{{du}}{\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }}\:=\mathrm{2}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}} \frac{{du}}{\sqrt{\mathrm{1}+{u}^{\mathrm{2}} }}\:=\mathrm{2}\left[{ln}\left({u}+\sqrt{={u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}} \\ $$ $$=\mathrm{2}\left\{{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}+\sqrt{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}\:}+\mathrm{1}}\right)\right\}=\mathrm{2}\:{ln}\left(\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}+\frac{\mathrm{2}\sqrt{{a}}}{\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}\right) \\ $$ $$=\mathrm{2}{ln}\left(\frac{\mathrm{2}\sqrt{{a}}+\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}}\right)\:=\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\sqrt{{a}}+\mathrm{1}\right)−{ln}\left(\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}\right) \\ $$ $$\Rightarrow{f}\left({a}\right)=\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\sqrt{{a}}+\mathrm{1}\right)−{ln}\left(\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}\right) \\ $$ $$\left.\mathrm{2}\right)\:{we}\:{have}\:{f}^{'} \left({a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\partial}{\partial{a}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+{a}}}\right){dx} \\ $$ $$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\partial}{\partial{a}}\left\{\left(\:{x}^{\mathrm{2}} −{x}+{a}\right)^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \right\}{dx}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+{a}\right)^{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} {dx} \\ $$ $$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{dx}}{\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+{a}\right)\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+{a}}}\:{from}\:{another}\:{side} \\ $$ $${f}^{'} \left({a}\right)\:=\mathrm{2}\:\:×\frac{\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{{a}}}}{\mathrm{2}\sqrt{{a}}+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}\:=\mathrm{2}×\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{{a}}\left(\mathrm{2}\sqrt{{a}}+\mathrm{1}\right)}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}} \\ $$ $$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}{a}+\sqrt{{a}}}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\ $$ $$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{{dx}}{\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+{a}\right)\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+{a}}}\:=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}{a}+\sqrt{{a}}}−\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}}\:{also}\:{we}\:{get} \\ $$ $$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{{dx}}{\left({x}^{\mathrm{2}} −{x}+{a}\right)\sqrt{{x}^{\mathrm{2}} −{x}+{a}}}\:=\frac{−\mathrm{4}}{\mathrm{2}{a}+\sqrt{{a}}}+\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{4}{a}−\mathrm{1}} \\ $$ | ||