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Question Number 94340 by mathmax by abdo last updated on 20/May/20 | ||
$$\left.\mathrm{1}\right)\:\mathrm{calculate}\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} =\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{n}}\right)\mathrm{dx}\:\:\:\:\:\:\left(\mathrm{n}>\mathrm{0}\right) \\ $$$$\left.\mathrm{2}\right)\mathrm{find}\:\mathrm{nature}\:\mathrm{of}\:\:\Sigma\:\mathrm{U}_{\mathrm{n}} \mathrm{and}\:\Sigma\mathrm{nU}_{\mathrm{n}} \\ $$ | ||
Answered by abdomathmax last updated on 19/May/20 | ||
$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{tx}\right)\:=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!}\:\left(\mathrm{tx}\right)^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \left(\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!}\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{t}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{e}^{−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \mathrm{t}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{dt} \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \:\mathrm{t}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{dt}\:=_{\mathrm{t}\:=\sqrt{\mathrm{u}}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \left(\mathrm{u}\right)^{\frac{\mathrm{2n}+\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} \:\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{u}}} \\ $$$$=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \:\mathrm{u}^{\mathrm{n}} \:\mathrm{du}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{know}\:\Gamma\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{t}^{\mathrm{x}−\mathrm{1}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}} \:\mathrm{dt}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \mathrm{t}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \:\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\Gamma\left(\mathrm{n}+\mathrm{1}\right)\:=\frac{\mathrm{n}!}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\sum_{\mathrm{n}=\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{n}} \:\mathrm{n}!}{\left(\mathrm{2n}+\mathrm{1}\right)!}\:\:\mathrm{x}^{\mathrm{2n}+\mathrm{1}} \\ $$$$ \\ $$ | ||
Commented by mathmax by abdo last updated on 20/May/20 | ||
$$\mathrm{the}\:\mathrm{Q}\:\mathrm{here}\:\mathrm{is}\:\mathrm{developp}\:\mathrm{at}\:\mathrm{integr}\:\mathrm{serie}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{tx}\right)\mathrm{dt} \\ $$ | ||