Question Number 130417 by Lordose last updated on 25/Jan/21
$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \frac{\mathrm{sin}\left(\alpha\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\beta\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx} \\ $$
Answered by mathmax by abdo last updated on 25/Jan/21
![I =∫_0 ^∞ ((sin(αx)sin(βx))/x^2 )dx ⇒I=_(αx=t) ∫_0 ^∞ ((sintsin((β/α)t))/(t^2 /α^2 ))×(dt/α) =∫_0 ^∞ ((sin(t)sin((β/α)t))/t^2 )dt (we suppose α>0 and β>0 )let λ=(β/α) ⇒ I =∫_0 ^∞ ((sintsin(λt))/t^2 )dt by parts we get I =[−(1/t)sint sin(λt)]_0 ^∞ +∫_0 ^∞ (1/t)(costsin(λt)+λsint cos(λt))dt =∫_0 ^∞ ((costsin(λt))/t)dt +λ∫_0 ^∞ ((sintcos(λt))/t)dt =u(λ)+λv(λ) we have sin(x+y)=sinx cosy +cosx siny sin(x−y)=sinxcosy−cosxsiny ⇒sinx cosy =(1/2)(sin(x+h)+sin(x−y)) ⇒ u(λ)=∫_0 ^∞ (1/t)(sin(λ+1)t +sin(λ−1)t)dt =∫_0 ^∞ ((sin(λ+1)t)/t) +∫_0 ^∞ ((sin(λ−1)t)/t)dt we know λ>0 ⇒ ∫_0 ^∞ ((sin(λ+1)t)/t)dt =_((λ+1)t=y) (λ+1) ∫_0 ^∞ ((siny)/y)(dy/(λ+1)) =∫_0 ^∞ ((siny)/y)dy=(π/2) if λ>1 ∫_0 ^∞ ((sin(λ−1)t)/t)dt =(π/2) ⇒I=(π/2)+λ(π/2)=(π/2)(λ+1)=(π/2)((β/α)+1) if 0<λ<1 ⇒∫_0 ^∞ ((sin(λ−1)t)/t)dt =−∫_0 ^∞ ((sin(1−λ)t)/t)dt=−(π/2) ⇒ I =(π/2)−λ(π/2)=(π/2)(1−λ) =(π/2)(1−(β/α))](Q130460.png)
$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\alpha\mathrm{x}\right)\mathrm{sin}\left(\beta\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dx}\:\Rightarrow\mathrm{I}=_{\alpha\mathrm{x}=\mathrm{t}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sintsin}\left(\frac{\beta}{\alpha}\mathrm{t}\right)}{\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\alpha^{\mathrm{2}} }}×\frac{\mathrm{dt}}{\alpha} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{sin}\left(\frac{\beta}{\alpha}\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:\left(\mathrm{we}\:\mathrm{suppose}\:\alpha>\mathrm{0}\:\mathrm{and}\:\beta>\mathrm{0}\:\right)\mathrm{let}\:\lambda=\frac{\beta}{\alpha}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sintsin}\left(\lambda\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:\:\mathrm{by}\:\mathrm{parts}\:\mathrm{we}\:\mathrm{get}\: \\ $$$$\mathrm{I}\:=\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{sint}\:\mathrm{sin}\left(\lambda\mathrm{t}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:+\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\left(\mathrm{costsin}\left(\lambda\mathrm{t}\right)+\lambda\mathrm{sint}\:\mathrm{cos}\left(\lambda\mathrm{t}\right)\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{costsin}\left(\lambda\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:+\lambda\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sintcos}\left(\lambda\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\mathrm{u}\left(\lambda\right)+\lambda\mathrm{v}\left(\lambda\right) \\ $$$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}+\mathrm{y}\right)=\mathrm{sinx}\:\mathrm{cosy}\:+\mathrm{cosx}\:\mathrm{siny} \\ $$$$\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)=\mathrm{sinxcosy}−\mathrm{cosxsiny}\:\Rightarrow\mathrm{sinx}\:\mathrm{cosy}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}+\mathrm{h}\right)+\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}−\mathrm{y}\right)\right)\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{u}\left(\lambda\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\left(\mathrm{sin}\left(\lambda+\mathrm{1}\right)\mathrm{t}\:+\mathrm{sin}\left(\lambda−\mathrm{1}\right)\mathrm{t}\right)\mathrm{dt} \\ $$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\lambda+\mathrm{1}\right)\mathrm{t}}{\mathrm{t}}\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\lambda−\mathrm{1}\right)\mathrm{t}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{know}\:\lambda>\mathrm{0}\:\Rightarrow \\ $$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\lambda+\mathrm{1}\right)\mathrm{t}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=_{\left(\lambda+\mathrm{1}\right)\mathrm{t}=\mathrm{y}} \left(\lambda+\mathrm{1}\right)\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{siny}}{\mathrm{y}}\frac{\mathrm{dy}}{\lambda+\mathrm{1}}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{siny}}{\mathrm{y}}\mathrm{dy}=\frac{\pi}{\mathrm{2}} \\ $$$$\mathrm{if}\:\lambda>\mathrm{1}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\lambda−\mathrm{1}\right)\mathrm{t}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow\mathrm{I}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}+\lambda\frac{\pi}{\mathrm{2}}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\left(\lambda+\mathrm{1}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\left(\frac{\beta}{\alpha}+\mathrm{1}\right) \\ $$$$\mathrm{if}\:\mathrm{0}<\lambda<\mathrm{1}\:\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\lambda−\mathrm{1}\right)\mathrm{t}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}\:=−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{1}−\lambda\right)\mathrm{t}}{\mathrm{t}}\mathrm{dt}=−\frac{\pi}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\lambda\frac{\pi}{\mathrm{2}}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\lambda\right)\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}−\frac{\beta}{\alpha}\right) \\ $$
Commented by mathmax by abdo last updated on 25/Jan/21
$$\mathrm{sorry}\:\mathrm{I}\:=\alpha\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{sintsin}\left(\lambda\mathrm{t}\right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\ $$$$\mathrm{I}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\left(\alpha+\beta\right)\:\mathrm{or}\:\mathrm{I}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\left(\alpha−\beta\right).... \\ $$