Algebra Questions

Question Number 139290 by mathdanisur last updated on 25/Apr/21

$$\underset{\:\mathrm{0}} {\overset{\:\infty} {\int}}\:\frac{{sin}\left({x}^{\mathrm{2}} −{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{{x}^{\mathrm{2}} }\right)\right)}{\:\sqrt{\mathrm{1}\:+\:{x}^{\mathrm{4}} }}\:{dx} \\$$

Answered by Ar Brandon last updated on 25/Apr/21

$$\mathrm{u}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\:\Rightarrow\mathrm{du}=−\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }=−\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \mathrm{dx} \\$$$$\mathcal{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{arctan}\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \right)\right)}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{4}} }}\mathrm{du} \\$$$$\mathrm{2}\mathcal{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{2sin}\left[\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)+\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\right)\right]\mathrm{cos}\left[\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\left(\left(\mathrm{arctan}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)−\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)\right)\right]\right.}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }}\mathrm{dx} \\$$$$... \\$$

Commented by mathdanisur last updated on 25/Apr/21

$${Sir},\:{how}\:{is}\:{the}\:{continuation}... \\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 26/Apr/21

$$\Phi\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:−\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\right)\right.}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{x}^{\mathrm{4}} }}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\Phi\:=_{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}=\mathrm{t}} \:\:−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{arctan}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\right)}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }}}\left(−\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right) \\$$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }−\mathrm{arctan}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\right)}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }}\mathrm{dt} \\$$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{arctan}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\right)−\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)\mathrm{sinarctan}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }}\mathrm{dt} \\$$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }}\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }}\mathrm{dt}−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }}\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)}{\:\sqrt{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }}\mathrm{dt} \\$$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{4}} \right)}\mathrm{dt}−\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }\mathrm{dt} \\$$$$=\Phi_{\mathrm{1}} −\Phi_{\mathrm{2}} \\$$$$\Phi_{\mathrm{1}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\mathrm{Im}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{4}} }\mathrm{dt}\right)\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{w}\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }} }{\mathrm{z}^{\mathrm{4}} +\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{w}\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }} }{\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} −\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{z}^{\mathrm{2}} +\mathrm{i}\right)}\:=\frac{\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)} \\$$$$\int_{\mathrm{R}} \mathrm{w}\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\left\{\:\mathrm{Res}\left(\mathrm{w},\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\:+\mathrm{Res}\left(\mathrm{w},−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\right\} \\$$$$\mathrm{Res}\left(\mathrm{w},\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)^{−\mathrm{2}} } }{\mathrm{2e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \left(\mathrm{2i}\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4i}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \:.\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(−\mathrm{i}\right)} \:=\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{4i}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \\$$$$\mathrm{Res}\left(\mathrm{w},−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\:=\frac{\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)^{−\mathrm{2}} } }{−\mathrm{2e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \left(−\mathrm{2i}\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4i}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \:\Rightarrow \\$$$$\int_{\mathrm{R}} \mathrm{w}\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\left\{\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{4i}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} +\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{4i}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right\} \\$$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\left\{\:\mathrm{e}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)+\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\right\} \\$$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\left\{\frac{\mathrm{e}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\mathrm{i}\left(\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{e}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\right\}\:\Rightarrow\Phi_{\mathrm{1}} =\frac{\pi}{\mathrm{4}}\left(\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{e}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right) \\$$$$\Phi_{\mathrm{2}} =\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{Re}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }} }{\mathrm{x}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dx}\right)\:\mathrm{let}\:\Psi\left(\mathrm{z}\right)\:=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }} }{\mathrm{z}^{\mathrm{4}} \:+\mathrm{1}} \\$$$$\Rightarrow\Psi\left(\mathrm{z}\right)=\frac{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \:\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }} }{\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\left(\mathrm{z}−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\left(\mathrm{z}+\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)} \\$$$$\mathrm{residus}\:\mathrm{theorem}\:\mathrm{give} \\$$$$\int_{\mathrm{R}} \Psi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\left\{\:\mathrm{Res}\left(\Psi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\:+\mathrm{Res}\left(\Psi,−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\right\} \\$$$$\mathrm{Res}\left(\Psi,\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\:=\frac{\mathrm{i}\:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)^{−\mathrm{2}} } }{\mathrm{2e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \left(\mathrm{2i}\right)}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} .\mathrm{e} \\$$$$\mathrm{Res}\left(\Psi,−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)\:=\frac{−\mathrm{i}\:\mathrm{e}^{\mathrm{i}\left(−\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right)^{−\mathrm{2}} } }{−\mathrm{2e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \left(−\mathrm{2i}\right)}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \\$$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{R}} \Psi\left(\mathrm{z}\right)\mathrm{dz}\:=\mathrm{2i}\pi\left\{\frac{\mathrm{e}}{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} −\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }{\mathrm{4}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \right\} \\$$$$=\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{2}}\left\{\:\mathrm{e}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)−\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}+\frac{\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)\right\} \\$$$$=\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{2}}\left\{\:\frac{\mathrm{e}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{ie}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} }{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{ie}^{−\mathrm{1}} }{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right\} \\$$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\left\{\mathrm{ie}\:+\mathrm{e}−\mathrm{ie}^{−\mathrm{1}} \:+\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \right\}\:\Rightarrow\Phi_{\mathrm{2}} =\frac{\pi}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}}\left(\mathrm{e}+\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \right) \\$$$$\Phi\:=\Phi_{\mathrm{1}} −\Phi_{\mathrm{2}} =\frac{\pi}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}}\left(\:\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} −\mathrm{e}\right)\:+\frac{\pi}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}}\left(\mathrm{e}+\mathrm{e}^{−\mathrm{1}} \right) \\$$$$=\frac{\pi}{\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}}\left(\mathrm{2e}^{−\mathrm{1}} \right)\:=\frac{\pi}{\mathrm{2e}\sqrt{\mathrm{2}}}\: \\$$

Commented by mathdanisur last updated on 26/Apr/21

$${Thankyou}\:{Sir},\:{but}\:{the}\:{answer}\:{is}\:{not}\: \\$$

Commented by mathmax by abdo last updated on 26/Apr/21

$$\mathrm{show}\:\mathrm{your}\:\mathrm{work}\:\mathrm{sir}.. \\$$