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Differentiation Questions

Question Number 150828 by mnjuly1970 last updated on 15/Aug/21

$$\\$$$$\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \frac{\:{sin}^{\:\mathrm{2}} \left({x}\:\right)}{{x}\sqrt{{x}}}\:{dx}\overset{?} {=}\:\sqrt{\pi} \\$$

Answered by puissant last updated on 16/Aug/21

$${Q}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{sin}^{\mathrm{2}} {x}}{{x}\sqrt{{x}}}{dx} \\$$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {x}^{−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}} {sin}^{\mathrm{2}} {xdx} \\$$$$=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{3}}{\mathrm{2}}}{x}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} {sin}^{\mathrm{2}} {x}\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} −\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} −\mathrm{2}{x}^{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}} ×\mathrm{2}{sinxcosxdx} \\$$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{sin}\mathrm{2}{x}}{\:\sqrt{{x}}}{dx} \\$$$$\underset{\:\sqrt{{x}}\rightarrow{u}} {=}\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{sin}\mathrm{2}{u}^{\mathrm{2}} }{{u}}\left(\mathrm{2}{udu}\right) \\$$$$=\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {sin}\mathrm{2}{u}^{\mathrm{2}} {du}\:=\:−\mathrm{4}\:{im}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {e}^{−\mathrm{2}{iu}^{\mathrm{2}} } {du}\right) \\$$$$\:\because\:\:\:\because\:\:\:\because\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {e}^{−\left(\sqrt{\mathrm{2}{i}}{u}\right)^{\mathrm{2}} } {du}\:\underset{\:\sqrt{\mathrm{2}{i}}{u}\rightarrow{z}} {=}\int_{\mathrm{0}} ^{{z}} {e}^{−{z}^{\mathrm{2}} } \frac{{dz}}{\:\sqrt{\mathrm{2}{i}}} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}{e}^{−{i}\frac{\pi}{\mathrm{4}}} ×\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{2}} \\$$$$=\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}\left(\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}−{i}\frac{\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}}\right)\:=\:\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{4}}−{i}\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{4}} \\$$$${Q}\:=\:−\mathrm{4}\:{im}\left(\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {e}^{−\mathrm{2}{iu}^{\mathrm{2}} } {du}\right)\:=\:−\mathrm{4}\left(−\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{4}}\right) \\$$$$\:\:\:\:\:\:\because\therefore\:\:{Q}\:=\:\sqrt{\pi}.. \\$$$$\\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:............\mathscr{L}{e}\:{puissant}.......... \\$$

Commented by mnjuly1970 last updated on 16/Aug/21

$${thank}\:{you}\:{so}\:{much}... \\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 17/Aug/21

$$\Upsilon=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{x}\right)}{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{x}}}\mathrm{dx}\:=_{\sqrt{\mathrm{x}}=\mathrm{t}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{3}} }\left(\mathrm{2t}\right)\mathrm{dt} \\$$$$\left.=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dt}\:=\mathrm{2}\left\{\:\:\left[−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}\mathrm{sin}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} −\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}}×\mathrm{2sin}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{2t}\right)\mathrm{cos}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{dt}\right\} \\$$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{dt}\:=\mathrm{2}\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}^{\mathrm{2}} \right)\mathrm{dt}\:=−\mathrm{2Im}\left(\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{2it}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dt}\right) \\$$$$\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{e}^{−\left(\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{i}\right)\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \mathrm{dt}\:=_{\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{it}=\mathrm{y}} \:\:\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\mathrm{e}^{−\mathrm{y}^{\mathrm{2}} } \frac{\mathrm{dy}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{i}} \\$$$$=\frac{\sqrt{\pi}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{e}^{\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} }=\frac{\sqrt{\pi}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\mathrm{e}^{−\frac{\mathrm{i}\pi}{\mathrm{4}}} \:=\frac{\sqrt{\pi}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}−\frac{\mathrm{i}}{\:\sqrt{\mathrm{2}}}\right)=\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{i}\sqrt{\pi}}{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\$$$$\Upsilon=\mathrm{2}×\frac{\sqrt{\pi}}{\mathrm{2}}=\sqrt{\pi} \\$$