Integration Questions

Question Number 127528 by bramlexs22 last updated on 30/Dec/20

$$\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\pi/\mathrm{4}} \frac{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}}{\mathrm{sin}\:\mathrm{x}+\mathrm{cos}\:\mathrm{x}}\:\mathrm{dx}\:=?\: \\$$

Answered by liberty last updated on 30/Dec/20

$$\:{Let}\:{L}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\pi/\mathrm{4}} \frac{\mathrm{sin}\:{x}}{\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{cos}\:{x}}\:{dx}\: \\$$$$\:{and}\:{let}\:{Y}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\pi/\mathrm{4}} \frac{\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{cos}\:{x}}{dx} \\$$$$\left(\mathrm{1}\right)\:{L}+{Y}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\pi/\mathrm{4}} \frac{\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{cos}\:{x}}\:{dx}\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{4}} \\$$$$\left(\mathrm{2}\right)\:{L}−{Y}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\pi/\mathrm{4}} \frac{\mathrm{sin}\:{x}−\mathrm{cos}\:{x}}{\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{cos}\:{x}}\:{dx} \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:−\int_{\mathrm{0}} ^{\:\pi/\mathrm{4}} \frac{{d}\left(\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{cos}\:{x}\right)}{\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{cos}\:{x}} \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=−\left[\:\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{sin}\:{x}+\mathrm{cos}\:{x}\right)\:\right]_{\mathrm{0}} ^{\pi/\mathrm{4}} \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}\right) \\$$$$\left(\mathrm{3}\right)\:{L}\:=\:\frac{\left({L}+{Y}\right)+\left({L}−{Y}\right)}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\mathrm{ln}\:\left(\mathrm{2}\right) \\$$$$\\$$

Commented by bramlexs22 last updated on 30/Dec/20

$$\mathrm{amazing}... \\$$

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 30/Dec/20

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{{t}}{{t}+\mathrm{1}}.\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{dt}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{tanx}={t} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {t}\left(\frac{\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}−\frac{{t}−\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\right){dt} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}+\frac{{t}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }{dt}=\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}\left(\frac{\sqrt{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}}{{t}+\mathrm{1}}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} +\left[\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{tan}^{−\mathrm{1}} {t}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\$$$$=\frac{\pi}{\mathrm{8}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{log}\left(\mathrm{2}\right) \\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 31/Dec/20

$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \:\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{sinx}\:+\mathrm{cosx}}\mathrm{dx}\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{t}\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:\frac{\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}{\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}×\frac{\mathrm{2dt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{4t}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\left(−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2t}+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt} \\$$$$=−\mathrm{4}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{tdt}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2t}−\mathrm{1}\right)}\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2t}−\mathrm{1}\right)} \\$$$$\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2t}−\mathrm{1}=\mathrm{0}\:\rightarrow\Delta^{'} \:=\mathrm{1}+\mathrm{1}=\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{t}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{t}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}} \\$$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{ct}\:+\mathrm{d}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\$$$$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{t}_{\mathrm{1}} }{\left(\mathrm{t}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}_{\mathrm{1}} −\mathrm{t}_{\mathrm{2}} \right)}\:=\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{1}+\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)}\:=\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{4}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)} \\$$$$\mathrm{b}=\frac{\mathrm{t}_{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{t}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}_{\mathrm{2}} −\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \right)}\:=\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}}{\left.\left(−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)\left(\mathrm{3}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{1}\right)}=\frac{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{4}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)} \\$$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{t}\rightarrow+\infty} \:\mathrm{tF}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{0}\:=\mathrm{a}+\mathrm{b}\:+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{c}=−\mathrm{a}−\mathrm{b} \\$$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}\:=−\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{t}_{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{d}\:\Rightarrow\mathrm{d}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}_{\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{t}_{\mathrm{2}} }\:\Rightarrow \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\mathrm{a}\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} }+\mathrm{b}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\mathrm{dt} \\$$$$+\mathrm{d}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:=\mathrm{a}\left[\mathrm{ln}\mid\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \mid\right]_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:+\mathrm{b}\left[\mathrm{ln}\mid\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} \mid\right]_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \\$$$$+\mathrm{d}\:\left[\mathrm{arctant}\right]_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:\:\:\mathrm{rest}\:\mathrm{to}\:\mathrm{finish}\:\mathrm{calculus}... \\$$