Algebra Questions

Question Number 124963 by 676597498 last updated on 07/Dec/20

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \frac{\mathrm{sin}\left(\varsigma\right)\mathrm{d}\varsigma}{\mathrm{cos}\left(\varsigma\right)+\mathrm{sin}\left(\varsigma\right)}\mathrm{d}\varsigma \\$$$$\mathrm{where}\:\varsigma\::\:\mathrm{zeta}\: \\$$

Commented by MJS_new last updated on 07/Dec/20

$$\mathrm{syntax}\:\mathrm{error}. \\$$

Answered by Dwaipayan Shikari last updated on 07/Dec/20

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \frac{\mathrm{1}}{{tan}\left(\zeta\right)+\mathrm{1}}{d}\zeta\:\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}.\frac{\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{dt}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:{tan}\zeta={t}\Rightarrow{sec}^{\mathrm{2}} \zeta=\frac{{dt}}{{d}\zeta} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{{t}+\mathrm{1}}−\frac{{t}−\mathrm{1}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}{dt} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}{log}\left(\mathrm{2}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2}{t}}{{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }{dt} \\$$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}{log}\left(\mathrm{2}\right)+\frac{\pi}{\mathrm{8}} \\$$

Commented by 676597498 last updated on 07/Dec/20

$$\mathrm{thanks} \\$$$$\mathrm{but}\:\mathrm{there}\:\mathrm{are}\:\mathrm{2}\:\left(\mathrm{d}\varsigma\right) \\$$$$\mathrm{look}\:\mathrm{again} \\$$$$\mathrm{it}\:\mathrm{is}\:\int\frac{\mathrm{sin}\left(\varsigma\right)\mathrm{d}\varsigma}{\mathrm{cos}\left(\varsigma\right)+\mathrm{sin}\left(\varsigma\right)}\mathrm{d}\varsigma \\$$$$\\$$

Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 07/Dec/20

$${Sorry}\:{but}\:{it}\:{doesn}'{t}\:{make}\:{any}\:{sense}\:{to}\:{me} \\$$

Commented by 676597498 last updated on 07/Dec/20

$$\mathrm{it}\:\mathrm{makes}\:\mathrm{sense} \\$$

Commented by mr W last updated on 07/Dec/20

$$\mathrm{it}\:\mathrm{makes}\:\boldsymbol{{No}}\:\mathrm{sense}! \\$$

Commented by MJS_new last updated on 07/Dec/20

$$\mathrm{if}\:\mathrm{it}\:\mathrm{makes}\:\mathrm{sense},\:\mathrm{what}\:\mathrm{sense}\:\mathrm{does}\:\mathrm{it}\:\mathrm{make}? \\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 07/Dec/20

$$\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \:\frac{\mathrm{sinx}}{\mathrm{cosx}\:+\mathrm{sinx}}\mathrm{dx}\:\:\mathrm{we}\:\mathrm{do}\:\mathrm{the}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{t}\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{A}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:\:\frac{\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}\frac{\mathrm{2dt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{4t}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2t}+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dt} \\$$$$=−\mathrm{4}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{tdt}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2t}−\mathrm{1}\right)}\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose} \\$$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2t}−\mathrm{1}\right)} \\$$$$\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2t}−\mathrm{1}\rightarrow\Delta^{'} \:=\mathrm{1}+\mathrm{1}=\mathrm{2}\:\Rightarrow\mathrm{t}_{\mathrm{1}} =\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\:\mathrm{and}\:\mathrm{t}_{\mathrm{2}} =\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} }\:+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{mt}\:+\mathrm{n}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\$$$$\mathrm{a}=\frac{\mathrm{t}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{3}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{4}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)}=\frac{\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{8}}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\$$$$\mathrm{b}\:=\frac{\mathrm{t}_{\mathrm{2}} }{−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:=\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}}{−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{3}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)}=\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}}{−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\left(\mathrm{4}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}}{−\mathrm{8}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{8}}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}} \\$$$$\mathrm{lim}_{\mathrm{t}\rightarrow+\infty} \:\mathrm{tF}\left(\mathrm{t}\right)=\mathrm{0}=\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{m}\:\Rightarrow\mathrm{m}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} \\$$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{o}\right)=\mathrm{0}\:=−\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}_{\mathrm{1}} }−\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{t}_{\mathrm{2}} }\:+\mathrm{n}\:\Rightarrow\mathrm{n}=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{t}_{\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{t}_{\mathrm{2}} }\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left(\frac{\mathrm{2}}{\left(−\mathrm{1}\right)}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{t}−\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right.}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}\left(\mathrm{t}−\left(\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}\right)\right)}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\frac{\mathrm{t}+\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\:\Rightarrow \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}−\sqrt{\mathrm{2}}}\:+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}−\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}} \\$$$$−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left[\mathrm{ln}\mid\left(\mathrm{t}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\mid\right]_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left[\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} −\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}\left[\mathrm{arctant}\right]_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\left\{\mathrm{ln}\mid\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{2}\right)^{\mathrm{2}} −\mathrm{2}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\left(\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}}×\frac{\pi}{\mathrm{8}}\right. \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\mid\mathrm{2}−\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{4}−\mathrm{2}\mid−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{3}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}+\mathrm{1}\right)−\frac{\pi}{\mathrm{32}} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{4}\right)−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{8}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{4}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)−\frac{\pi}{\mathrm{32}}\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{I}=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{4}\right)+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{4}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\right)+\frac{\pi}{\mathrm{8}} \\$$

Commented by talminator2856791 last updated on 07/Dec/20

$$\:\mathrm{abdo}\:\mathrm{to}\:\mathrm{the}\:\mathrm{rescue}!!!!! \\$$