Integration Questions

Question Number 161660 by amin96 last updated on 20/Dec/21

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \boldsymbol{{ln}}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\boldsymbol{{cos}}\left(\boldsymbol{{x}}\right)\right)\boldsymbol{{dx}}=??? \\$$

Answered by mindispower last updated on 21/Dec/21

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}{r}} \\$$$${ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\boldsymbol{{cos}}\left(\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}−{x}\right)\right){dx}\mathrm{3} \\$$$$\left.={ln}\left(\mathrm{1}+{cos}\left({x}\right)+{sin}\left({x}\right)\right)\right){dx} \\$$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} {ln}\left(\mathrm{2}{cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{2}{sin}\left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right){cos}\left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)\right){dx} \\$$$$=\left(\frac{\pi}{\mathrm{4}}{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} {ln}\left({cos}\left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}\right)\right){dx}+{n}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} {ln}\left(\sqrt{\mathrm{2}}{snin}\left(\frac{{x}}{\mathrm{2}}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)\right)\right. \\$$$$=\frac{\mathrm{3}\pi{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{8}}+\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{8}}} {ln}\left({cos}\left({t}\right)\right)+\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{8}}} {ln}\left({sin}\left({t}+\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)\right){dt} \\$$$$=,\frac{\mathrm{3}\pi{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{8}}\mathrm{4}+\mathrm{2}\int_{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} ^{\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{8}}} {ln}\left({sin}\left({u}\right)\right){d},\Sigma \\$$$${ln}\left({sin}\left({x}\right)\right)=−{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{{cos}\left(\mathrm{2}{nx}\right)}{{n}} \\$$$${we}\:{get}\:\frac{\mathrm{3}\pi{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{8}}−\frac{\pi}{\mathrm{4}}{ln}\left(\mathrm{2}\right)−\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{{sin}\left({n}\mathrm{3}\frac{\pi}{\mathrm{4}}\right)−{sin}\left(\frac{{n}\pi}{\mathrm{2}}\right)}{{n}^{\mathrm{2}} } \\$$$$=\frac{\pi{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{8}}−{Cl}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{3}\pi}{\mathrm{4}}\right)+{Cl}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}\right), \\$$$${Cl}_{\mathrm{2}} \left({z}\right)=\underset{{n}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{{sin}\left({nz}\right)}{{n}^{\mathrm{2}} },{Clausen}\:{function} \\$$$${we}\:{can}\:{express}\:{withe}\:{elementry}\:{function} \\$$$$\\$$$$\\$$

Commented by Ar Brandon last updated on 21/Dec/21

$$\mathrm{g}\acute {\mathrm{e}nial}\:! \\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 21/Dec/21

$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{acosx}\right)\mathrm{dx}\:\:\:\left(\mathrm{a}>\mathrm{1}\right) \\$$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \frac{\mathrm{cosx}}{\mathrm{1}+\mathrm{acosx}}\mathrm{dx}\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \frac{\mathrm{1}+\mathrm{acosx}−\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{acosx}}\mathrm{dx} \\$$$$=\frac{\pi}{\mathrm{4a}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{acosx}}\:\:\mathrm{changement}\:\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{t}\:\mathrm{give} \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{4}}} \:\frac{\mathrm{dx}}{\mathrm{1}+\mathrm{acosx}}=\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:\:\frac{\mathrm{2dt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}\frac{\mathrm{1}−\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }\right)} \\$$$$=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:\:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{a}−\mathrm{at}^{\mathrm{2}} }=\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}\right)\mathrm{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}+\mathrm{a}} \\$$$$=−\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{a}−\mathrm{1}\right)\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}\right)}=\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}} \\$$$$=_{\mathrm{t}=\sqrt{\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}}\mathrm{u}} \:\:\:\:\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}}} \:\:\:\:\frac{\sqrt{\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}}}{\frac{\mathrm{a}+\mathrm{1}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)}\mathrm{du} \\$$$$=\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}×\frac{\sqrt{\mathrm{a}+\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{a}−\mathrm{1}}}×\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}\int_{\mathrm{0}} ^{\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}}} \:\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}} \\$$$$=\frac{\sqrt{\mathrm{a}−\mathrm{1}}}{\:\sqrt{\mathrm{a}+\mathrm{1}}}×\frac{−\mathrm{2}}{\mathrm{a}−\mathrm{1}}\int...\:\mathrm{du} \\$$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\int_{\mathrm{0}} ^{\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}}} \:\:\:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}+\mathrm{1}}\right)\mathrm{du} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\left[\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{u}+\mathrm{1}}{\mathrm{u}−\mathrm{1}}\mid\right]_{\mathrm{0}} ^{\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}}} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\left\{\mathrm{ln}\mid\frac{\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}}+\mathrm{1}}{\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}}−\mathrm{1}}\mid\right\}\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{4a}}\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\mathrm{ln}\mid\frac{\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}}+\mathrm{1}}{\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}}−\mathrm{1}}\mid\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{4}}\mathrm{lna}−\int\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\mathrm{ln}\left(\frac{\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}}+\mathrm{1}}{\left(\sqrt{\mathrm{2}}−\mathrm{1}\right)\sqrt{\frac{\mathrm{a}−\mathrm{1}}{\mathrm{a}+\mathrm{1}}}−\mathrm{1}}\right)\:+\mathrm{C} \\$$$$...\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\$$

Answered by Lordose last updated on 23/Dec/21

$$\\$$$$\Omega\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{cos}\left(\mathrm{x}\right)+\mathrm{sin}\left(\mathrm{x}\right)\right)\mathrm{dx} \\$$$$\Omega\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{2cos}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\:+\:\mathrm{2sin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right)\mathrm{dx}\:\:\:\:\: \\$$$$\Omega\:=\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}} \mathrm{1dx}\:+\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right)\mathrm{dx}\:+\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)+\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right)\mathrm{dx}\:\:\:\:\: \\$$$$\Omega\:=\:\frac{\boldsymbol{\pi}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{4}}\:+\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)\right)\mathrm{dx}\:+\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}} \mathrm{1dx}\:+\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}+\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}\right)\right)\mathrm{dx}\:\:\:\:\:\:\:\: \\$$$$\boldsymbol{\mathrm{N}}.\boldsymbol{\mathrm{B}}\:::\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\boldsymbol{\mathrm{x}}} \boldsymbol{\mathrm{ln}}\left(\boldsymbol{\mathrm{sin}}\left(\frac{\boldsymbol{\mathrm{t}}}{\mathrm{2}}\right)\right)\boldsymbol{\mathrm{dt}}\:=\:−\boldsymbol{\mathrm{Cl}}_{\mathrm{2}} \left(\boldsymbol{\mathrm{x}}\right)\:−\:\boldsymbol{\mathrm{xln}}\left(\mathrm{2}\right) \\$$$$\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\boldsymbol{\mathrm{Cl}}_{\mathrm{2}} \left(\boldsymbol{\pi}\right)\:=\:\mathrm{0};\:\boldsymbol{\mathrm{Cl}}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{2}}\right)\:=\:\boldsymbol{\mathrm{G}}\left(\boldsymbol{\mathrm{Catalan}}'\boldsymbol{\mathrm{s}}\:\boldsymbol{\mathrm{Constant}}\right) \\$$$$\Omega\:=\:\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{\pi}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{8}}\:+\:\mathrm{A}\:+\:\mathrm{B} \\$$$$\mathrm{A}\:\overset{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{2}}−\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}} {=}\int_{\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}} ^{\:\boldsymbol{\pi}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}\right)\right)\mathrm{du}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\:\boldsymbol{\pi}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}\right)\right)\mathrm{du}\:−\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}\right)\right)\mathrm{du} \\$$$$\mathrm{A}\:=\:−\mathrm{Cl}_{\mathrm{2}} \left(\boldsymbol{\pi}\right)\:−\:\boldsymbol{\pi}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:+\:\boldsymbol{\mathrm{Cl}}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}\right)\:+\:\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{\pi}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{4}} \\$$$$\mathrm{A}\:=\:\boldsymbol{\mathrm{Cl}}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}\right)\:−\:\frac{\boldsymbol{\pi}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{4}} \\$$$$\mathrm{B}\:\overset{\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\:=\:\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}−\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}} {=}\:\int_{\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{2}}} ^{\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}\right)\right)\mathrm{du}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}\right)\right)\mathrm{du}\:−\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{2}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{sin}\left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}\right)\right)\mathrm{du} \\$$$$\mathrm{B}\:=\:−\boldsymbol{\mathrm{Cl}}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}\right)\:−\:\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{\pi}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{4}}\:+\:\boldsymbol{\mathrm{Cl}}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{2}}\right)\:+\:\frac{\boldsymbol{\pi}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{2}} \\$$$$\mathrm{B}\:=\:\boldsymbol{\mathrm{Cl}}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{2}}\right)\:−\boldsymbol{\mathrm{Cl}}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}\right)\:−\:\frac{\boldsymbol{\pi}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{4}} \\$$$$\Omega\:=\:\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{\pi}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{8}}\:+\:\mathrm{A}\:+\:\mathrm{B} \\$$$$\Omega\:=\:\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{\pi}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{8}}\:+\:\boldsymbol{\mathrm{Cl}}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}\right)\:−\:\frac{\boldsymbol{\pi}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{4}}\:+\:\boldsymbol{\mathrm{Cl}}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{2}}\right)−\:\boldsymbol{\mathrm{Cl}}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{3}\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{4}}\right)\:−\:\frac{\boldsymbol{\pi}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{4}} \\$$$$\Omega\:=\:\boldsymbol{\mathrm{Cl}}_{\mathrm{2}} \left(\frac{\boldsymbol{\pi}}{\mathrm{2}}\right)\:−\:\frac{\boldsymbol{\pi}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{8}} \\$$$$\boldsymbol{\Omega}\:=\:\boldsymbol{\mathrm{G}}\:−\:\frac{\boldsymbol{\pi\mathrm{log}}\left(\mathrm{2}\right)}{\mathrm{8}} \\$$