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Question Number 142724 by lapache last updated on 04/Jun/21

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{{sin}\left(\mathrm{2}{t}\right)}{\mathrm{1}+{xsin}\left(\mathrm{2}{t}\right)}{dt}=.... \\$$

Answered by Ar Brandon last updated on 04/Jun/21

$$\mathrm{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{sin2t}}{\mathrm{1}+\mathrm{xsin2t}}\mathrm{dt}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{xsin2t}}{\mathrm{1}+\mathrm{xsin2t}}\mathrm{dt} \\$$$$\:\:=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{xsin2t}}\right)\mathrm{dt}=\frac{\pi}{\mathrm{2x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{1}+\mathrm{xsin2t}} \\$$$$\:\:=\frac{\pi}{\mathrm{2x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}}{\mathrm{sec}^{\mathrm{2}} \mathrm{t}+\mathrm{xtant}}\mathrm{dt}=\frac{\pi}{\mathrm{2x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{d}{j}}{{j}^{\mathrm{2}} +\mathrm{x}{j}+\mathrm{1}} \\$$$$\:\:=\frac{\pi}{\mathrm{2x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}}\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{d}{j}}{\left({j}+\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}}=\frac{\pi}{\mathrm{2x}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\left[\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2}{j}+\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \\$$$$\:\:=\frac{\pi}{\mathrm{2x}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{4}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\right)\right) \\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 06/Jun/21

$$\mathrm{I}\left(\mathrm{x}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\frac{\mathrm{sin}\left(\mathrm{2t}\right)}{\mathrm{1}+\mathrm{xsin}\left(\mathrm{2t}\right)}\mathrm{dt}\:\Rightarrow\mathrm{I}\left(\mathrm{x}\right)=_{\mathrm{2t}=\mathrm{u}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \:\frac{\mathrm{sinu}}{\mathrm{1}+\mathrm{xsinu}}\mathrm{du} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \:\frac{\mathrm{xsinu}+\mathrm{1}−\mathrm{1}}{\mathrm{1}+\mathrm{xsinu}}\mathrm{du}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2x}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}}\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \:\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{1}+\mathrm{xsinu}}\:\mathrm{changement}\:\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{u}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{y} \\$$$$\mathrm{give}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\pi} \:\frac{\mathrm{du}}{\mathrm{1}+\mathrm{xsinu}}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{2dy}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{x}\frac{\mathrm{2y}}{\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} }\right)} \\$$$$\mathrm{H}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{2dy}}{\mathrm{1}+\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2xy}}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{2dy}}{\mathrm{y}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{2xy}\:+\mathrm{1}}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{2dy}}{\left(\mathrm{y}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} } \\$$$$\mathrm{case}\:\mathrm{1}\:\:\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} >\mathrm{0}\:\Rightarrow\mid\mathrm{x}\mid<\mathrm{1}\:\:\Rightarrow\mathrm{H}=_{\mathrm{y}+\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{z}} \:\:\:\int_{\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}} ^{\infty} \:\:\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\mathrm{dz}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} \right)} \\$$$$=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\left[\mathrm{arctanz}\right]_{\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}} ^{\infty} \:\:=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}}−\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\right)\right) \\$$$$=\frac{\pi}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}−\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\right)\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{I}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2x}}−\frac{\pi}{\mathrm{2x}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{x}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }}\right) \\$$$$\mathrm{case}\:\mathrm{2}\:\:\:\mathrm{1}−\mathrm{x}^{\mathrm{2}} <\mathrm{0}\:\:\Rightarrow\mathrm{H}=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\:\:\frac{\mathrm{2dy}}{\left(\mathrm{y}+\mathrm{x}\right)^{\mathrm{2}} −\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)} \\$$$$=_{\mathrm{y}+\mathrm{x}=\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{u}} \:\:\:\int_{\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}\mathrm{du}}{\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{u}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}\right)} \\$$$$=\frac{\mathrm{2}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\int_{\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{du}}{\left(\mathrm{u}−\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{u}+\mathrm{1}\right)} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\int_{\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}} ^{\infty} \:\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}−\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{u}+\mathrm{1}}\right) \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\left[\mathrm{log}\mid\frac{\mathrm{u}−\mathrm{1}}{\mathrm{u}+\mathrm{1}}\mid\right]_{\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}} ^{\infty} \:=−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\mathrm{log}\mid\frac{\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}−\mathrm{1}}{\frac{\mathrm{x}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}+\mathrm{1}}\mid \\$$$$=−\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\mathrm{log}\mid\frac{\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\mid\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{I}\left(\mathrm{x}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2x}}+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2x}\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\mathrm{log}\mid\frac{\mathrm{x}−\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}{\mathrm{x}+\sqrt{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}}}\mid \\$$