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Integration Questions

Question Number 113821 by 675480065 last updated on 15/Sep/20

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{2}−\mathrm{sinx}\right)\mathrm{dx} \\$$

Commented by Dwaipayan Shikari last updated on 15/Sep/20

$${I}\left({a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} {log}\left(\mathrm{2}+{asinx}\right){dx} \\$$$${I}'\left({a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{{sinx}}{\mathrm{2}+{asinx}}{dx} \\$$$${I}'\left({a}\right)=\frac{\mathrm{1}}{{a}}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{1}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{2}+{asinx}} \\$$$${I}'\left({a}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2}{a}}−\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+{asinx}}{dx} \\$$$${I}'\left({a}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2}{a}}−\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\frac{\mathrm{2}{at}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }}.\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{t}^{\mathrm{2}} }{dt}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\left({tan}\frac{{x}}{\mathrm{2}}={t}\right) \\$$$${I}'\left({a}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2}{a}}−\mathrm{4}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}+\mathrm{2}{t}^{\mathrm{2}} +\mathrm{2}{at}}{dt} \\$$$${I}'\left({a}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2}{a}}−\mathrm{2}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \frac{\mathrm{1}}{\left({t}+\frac{{a}}{\mathrm{2}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}}{dt} \\$$$${I}'\left({a}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2}{a}}−\mathrm{2}\frac{\mathrm{1}}{\:\sqrt{\mathrm{1}−\frac{{a}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{4}}}}.\left[{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{2}{t}+{a}}{\:\sqrt{\mathrm{4}−{a}^{\mathrm{2}} }}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \\$$$${I}\left({a}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{2}}{log}\left({a}\right)−\int\frac{\mathrm{4}}{\:\sqrt{\mathrm{4}−{a}^{\mathrm{2}} }}\left({tan}^{−\mathrm{1}} \sqrt{\frac{\mathrm{2}+{a}}{\mathrm{2}−{a}}}\:−{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{{a}}{\:\sqrt{\mathrm{4}−{a}^{\mathrm{2}} }}\right).... \\$$$$..... \\$$

Answered by mathdave last updated on 15/Sep/20

$${solution}\: \\$$$${let} \\$$$${A}=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{ln}\left[\mathrm{2}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}{x}\right)\right]{dx}=\mathrm{ln2}\int^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} {dx}+\int^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}{x}\right){dx} \\$$$${A}=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln2}+\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}{x}\right){dx} \\$$$${let}\:{I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}{x}\right){dx}.........\left(\mathrm{1}\right) \\$$

Commented by mathdave last updated on 15/Sep/20

Commented by mathdave last updated on 15/Sep/20

Commented by mathdave last updated on 15/Sep/20

Commented by Tawa11 last updated on 06/Sep/21

$$\mathrm{great}\:\mathrm{sir} \\$$

Answered by Olaf last updated on 15/Sep/20

$$\mathrm{I}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{2}−\mathrm{sin}{x}\right){dx} \\$$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}{x}}\:=\:\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{sin}^{{n}} {x}}{\mathrm{2}^{{n}} } \\$$$$\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{cos}{x}}{\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}{x}}\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\mathrm{cos}{x}\frac{\mathrm{sin}^{{n}} {x}}{\mathrm{2}^{{n}} } \\$$$$\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}{x}\right)\:=\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{sin}^{{n}+\mathrm{1}} {x}}{\mathrm{2}^{{n}} \left({n}+\mathrm{1}\right)} \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln2}+\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sin}{x}\right){dx} \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln2}−\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \underset{{n}=\mathrm{0}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{sin}^{{n}+\mathrm{1}} {x}}{\mathrm{2}^{{n}+\mathrm{1}} \left({n}+\mathrm{1}\right)}{dx} \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln2}−\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{sin}^{{n}} {x}}{{n}\mathrm{2}^{{n}} }{dx} \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln2}−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{1}}{{n}\mathrm{2}^{{n}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{sin}^{{n}} {xdx} \\$$$$\mathrm{W}_{{n}} \:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{sin}^{{n}} {xdx}\:\left(\mathrm{Wallis}\right) \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln2}−\underset{{n}=\mathrm{1}} {\overset{\infty} {\sum}}\frac{\mathrm{W}_{{n}} }{{n}\mathrm{2}^{{n}} }... \\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 15/Sep/20

$$\mathrm{let}\:\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{2}−\mathrm{sinx}\right)\mathrm{dx}\:\:\Rightarrow\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)+\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sinx}\right)\mathrm{dx} \\$$$$=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{2}\right)\:+\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \:\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\mathrm{sinx}\right)\mathrm{dx}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \mathrm{ln}\left(\mathrm{1}−\mathrm{asinx}\right)\mathrm{dx} \\$$$$\mathrm{with0}<\mathrm{a}<\mathrm{1} \\$$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\frac{\pi}{\mathrm{2}}} \frac{−\mathrm{sinx}}{\mathrm{1}−\mathrm{asinx}}\:\mathrm{dx}\:=_{\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{x}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{t}} \:−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}{\mathrm{1}−\mathrm{a}\frac{\mathrm{2t}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }}×\frac{\mathrm{2dt}}{\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} } \\$$$$=−\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\:\frac{\mathrm{4t}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2at}\right)}\:\mathrm{dt}\:\:=−\mathrm{4}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{tdt}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2at}\:+\mathrm{1}\right)} \\$$$$\mathrm{let}\:\mathrm{decomoose}\:\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2at}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\$$$$\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2at}\:+\mathrm{1}=\mathrm{0}\rightarrow\Delta^{'} \:=\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{1}<\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\alpha\mathrm{t}\:+\beta}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2at}\:+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{mt}\:+\mathrm{n}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}\:} \:+\mathrm{1}} \\$$$$\Rightarrow\left(\alpha\mathrm{t}+\beta\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)+\left(\mathrm{mt}+\mathrm{n}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2at}\:+\mathrm{1}\right)\:=\mathrm{t}\:\Rightarrow \\$$$$\alpha\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\alpha\mathrm{t}\:+\beta\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\beta\:\:+\mathrm{mt}^{\mathrm{3}} −\mathrm{2amt}^{\mathrm{2}} +\mathrm{mt}\:+\mathrm{nt}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2ant}\:+\mathrm{n}\:=\mathrm{t}\:\Rightarrow \\$$$$\left(\alpha+\mathrm{m}\right)\mathrm{t}^{\mathrm{3}} \:+\left(\beta−\mathrm{2am}\:+\mathrm{n}\right)\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\left(\alpha+\mathrm{m}−\mathrm{2an}\right)\mathrm{t}\:+\beta+\mathrm{n}\:=\mathrm{t}\:\Rightarrow \\$$$$\begin{cases}{\alpha+\mathrm{m}\:=\mathrm{0}}\\{\beta−\mathrm{2am}\:+\mathrm{n}\:=\mathrm{0}\:\:\:\:\mathrm{and}\:\begin{cases}{\alpha+\mathrm{m}\:−\mathrm{2an}\:=\mathrm{1}}\\{\beta+\mathrm{n}\:=\mathrm{0}\:\:\Rightarrow}\end{cases}}\end{cases} \\$$$$\begin{cases}{\mathrm{m}=−\alpha\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\mathrm{and}\:\:\:\:\:\begin{cases}{−\mathrm{2an}\:=\mathrm{1}}\\{\beta\:=−\mathrm{n}\:\:\:\:\Rightarrow\:\mathrm{n}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2a}}}\end{cases}}\\{−\mathrm{2a}\alpha\:=\mathrm{0}\:\:}\end{cases} \\$$$$\mathrm{and}\:\alpha=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{m}=\mathrm{0}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\:=\frac{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2a}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2at}\:+\mathrm{1}}\:+\frac{−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2a}}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2a}}\left\{\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2at}\:+\mathrm{1}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}}\right\}\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\:=−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{a}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2at}\:+\mathrm{1}}\:+\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{a}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\$$$$=\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{a}}×\frac{\pi}{\mathrm{4}}\:−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{a}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2at}\:+\mathrm{1}}\:=\frac{\pi}{\mathrm{2a}}−\frac{\mathrm{2}}{\mathrm{a}}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2at}\:+\mathrm{1}} \\$$$$\mathrm{but}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2at}\:+\mathrm{1}}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2at}\:+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \:\frac{\mathrm{dt}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{a}\right)^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} } \\$$$$=_{\mathrm{t}−\mathrm{a}\:=\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }\mathrm{u}} \:\:\:\int_{\frac{−\mathrm{a}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}} ^{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{a}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}} \:\:\:\:\:\:\frac{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+\mathrm{u}^{\mathrm{2}} \right)}\mathrm{du} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\left\{\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{a}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\right)+\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{a}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\right)\right\}\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\frac{\pi}{\mathrm{2}}\mathrm{lna}\:\:−\mathrm{2}\:\int\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{a}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\right)\mathrm{da}−\mathrm{2}\int\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{a}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\right)\mathrm{da} \\$$$$....\mathrm{be}\:\mathrm{continued}\:.... \\$$

Commented by mathmax by abdo last updated on 16/Sep/20

$$\mathrm{we}\:\mathrm{have}\:\int\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{a}}{\sqrt{\mathrm{1}−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }}\right)\mathrm{da} \\$$$$=_{\mathrm{a}\:=\mathrm{cost}} \:\:\:\:\int\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cost}\:\mathrm{sint}}\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{1}−\mathrm{cost}}{\mathrm{sint}}\right)\left(−\mathrm{sint}\right)\mathrm{dt} \\$$$$=−\int\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cost}}\:\mathrm{arctan}\left(\frac{\mathrm{2sin}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}\right)}{\mathrm{2sin}\left(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{cos}\left(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}\right)}\right)\mathrm{dt} \\$$$$=−\int\:\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{cost}}\:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}\right)\mathrm{dt}\:=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\:\:\:\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{cost}}\:\mathrm{dt}\right. \\$$$$=_{\mathrm{tan}\left(\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{2}}\right)=\mathrm{z}} \:\:\:−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\:\int\:\:\:\frac{\mathrm{2arctan}\left(\mathrm{z}\right)}{\frac{\mathrm{1}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{1}+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }}\:\frac{\mathrm{2dz}}{\mathrm{1}+\mathrm{z}^{\mathrm{2}} } \\$$$$=−\mathrm{2}\:\int\:\:\:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{z}\right)}{\mathrm{1}−\mathrm{z}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dz}.....\mathrm{be}\:\mathrm{continued}... \\$$