Integration Questions

Question Number 130167 by Lordose last updated on 23/Jan/21

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\:\infty} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{u}\right)\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} }{\left(\mathrm{1}+\mathrm{e}^{−\mathrm{u}} \right)^{\mathrm{2}} }\mathrm{du} \\$$$$\\$$$$\\$$

Answered by mindispower last updated on 26/Jan/21

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{{x}^{{s}} }{\left(\mathrm{1}+{e}^{−{x}} \right)}{e}^{−{x}} {dx}={f}\left({s}\right) \\$$$$\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{x}}=\Sigma\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}} {x}^{{k}} \\$$$$\Rightarrow\frac{{x}}{\left(\mathrm{1}+{x}\right)^{\mathrm{2}} }=\underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}{k}\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}+\mathrm{1}} {x}^{{k}} \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {x}^{{s}} \underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}{k}\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}+\mathrm{1}} {e}^{−{kx}} {dx} \\$$$${kx}={t} \\$$$$\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{{t}^{{s}} \left(−\mathrm{1}\right)^{{k}+\mathrm{1}} {e}^{−{x}} {dx}}{{k}^{{s}} } \\$$$$=\underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}+\mathrm{1}} }{{k}^{{s}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} {t}^{{s}} {e}^{−{x}} {dx} \\$$$$=\underset{{k}\geqslant\mathrm{1}} {\sum}\frac{\left(−\mathrm{1}\right)^{{k}+\mathrm{1}} }{{k}^{{s}} }\Gamma\left({s}+\mathrm{1}\right)=\Gamma\left({s}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{s}−\mathrm{1}} }\right)\zeta\left({s}\right) \\$$$${f}\left({s}\right)=\Gamma\left({s}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{s}−\mathrm{1}} }\right)\zeta\left({s}\right) \\$$$${f}'\left({s}\right)=\left(\Psi\left({s}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{s}−\mathrm{1}} }\right)+\Gamma\left({s}+\mathrm{1}\right)\left({ln}\left(\mathrm{2}\right)\mathrm{2}^{\mathrm{1}−{s}} \right)\right)\zeta\left({s}\right) \\$$$$+\zeta'\left({s}\right)\left(\Gamma\left({s}+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{1}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}^{{s}−\mathrm{1}} }\right)\right) \\$$$$\Gamma\left(\mathrm{1}\right)=\mathrm{1},\Psi\left(\mathrm{1}\right)=−\gamma \\$$$$\zeta\left(\mathrm{0}\right)=−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}},\zeta'\left(\mathrm{0}\right)=−\frac{{ln}\left(\mathrm{2}\pi\right)}{\mathrm{2}} \\$$$${we}\:{get} \\$$$$\left(−\gamma\left(−\mathrm{1}\right)+\mathrm{2}{ln}\left(\mathrm{2}\right)\right).−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}+−\frac{{ln}\left(\mathrm{2}\pi\right)}{\mathrm{2}}\left(−\mathrm{2}\right) \\$$$$=\frac{\gamma}{\mathrm{2}}+{ln}\left(\mathrm{2}\pi\right)−{ln}\left(\mathrm{2}\right)=\frac{\gamma}{\mathrm{2}}+{ln}\left(\frac{\mathrm{2}\pi}{\mathrm{2}}\right)=\frac{\gamma}{\mathrm{2}}+{ln}\left(\pi\right) \\$$$$\\$$$$\\$$$$\\$$$$\\$$$$\\$$