Algebra Questions

Question Number 150841 by mathdanisur last updated on 15/Aug/21

$$\underset{\:\mathrm{0}} {\overset{\:\infty} {\int}}\:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}+\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} }\:\mathrm{dx}\:=\:? \\$$

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 15/Aug/21

$${f}\left({a},{b}\right)\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+{a}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}+{b}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} }\:{dx}\:\:\:\:\left(\mathrm{1}\right) \\$$$$\frac{\partial{f}}{\partial{a}}\left({a},{b}\right)\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{2}{ax}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{1}+{a}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{1}+{b}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} \right)}\:{dx} \\$$$$\frac{\partial{f}}{\partial{a}}\left({a},{b}\right)\:=\:\frac{\mathrm{2}{a}}{{b}^{\mathrm{2}} −{a}^{\mathrm{2}} }\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{a}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} }−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{1}+{b}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} }\right)\:{dx} \\$$$$\frac{\partial{f}}{\partial{a}}\left({a},{b}\right)\:=\:\frac{\mathrm{2}{a}}{{b}^{\mathrm{2}} −{a}^{\mathrm{2}} }\left[\frac{\mathrm{arctan}\left({ax}\right)}{{a}}−\frac{\mathrm{arctan}\left({bx}\right)}{{b}}\right]_{\mathrm{0}} ^{\infty} \\$$$$\frac{\partial{f}}{\partial{a}}\left({a},{b}\right)\:=\:\frac{\mathrm{2}{a}}{{b}^{\mathrm{2}} −{a}^{\mathrm{2}} }\left(\frac{\pi}{\mathrm{2}{a}}−\frac{\pi}{\mathrm{2}{b}}\right) \\$$$$\frac{\partial{f}}{\partial{a}}\left({a},{b}\right)\:=\:\frac{\pi}{{b}\left({a}+{b}\right)} \\$$$$\Rightarrow\:{f}\left({a},{b}\right)\:=\:\frac{\pi}{{b}}\mathrm{ln}\left({a}+{b}\right)+\mathrm{C}\left({b}\right)\:\:\:\:\left(\mathrm{2}\right) \\$$$$\\$$$$\left(\mathrm{1}\right)\::\:{f}\left(\mathrm{0},{b}\right)\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{0}{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{1}+{b}^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} }\:{dx}\:=\:\mathrm{0} \\$$$$\left(\mathrm{2}\right)\::\:{f}\left(\mathrm{0},{b}\right)\:=\:\frac{\pi}{{b}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{0}+{b}\right)+\mathrm{C}\left({b}\right)\:=\:\:\frac{\pi}{{b}}\mathrm{ln}{b}+\mathrm{C}\left({b}\right) \\$$$$\Rightarrow\:\mathrm{C}\left({b}\right)\:=\:−\frac{\pi}{{b}}\mathrm{ln}{b} \\$$$$\\$$$$\left(\mathrm{2}\right)\::\:{f}\left({a},{b}\right)\:=\:\frac{\pi}{{b}}\mathrm{ln}\left({a}+{b}\right)−\frac{\pi}{{b}}\mathrm{ln}{b} \\$$$$\\$$$${f}\left({a},{b}\right)\:=\:\frac{\pi}{{b}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\frac{{a}}{{b}}\right) \\$$

Commented by amin96 last updated on 15/Aug/21

$${nice} \\$$

Commented by mathdanisur last updated on 15/Aug/21

$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{Ser}\:\mathrm{cool} \\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 17/Aug/21

$$\Psi\left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{ln}\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow\Psi^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \frac{\mathrm{2ax}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\mathrm{dx} \\$$$$=\mathrm{2a}\:\int_{\mathrm{0}} ^{\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{ax}−\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{ax}+\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{bx}−\mathrm{i}\right)\left(\mathrm{bx}+\mathrm{i}\right)}\mathrm{dx} \\$$$$=\frac{\mathrm{a}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\int_{−\infty} ^{+\infty} \:\frac{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} }{\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{a}}\right)\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{a}}\right)\left(\mathrm{x}−\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{b}}\right)\left(\mathrm{x}+\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{b}}\right)}\mathrm{dx} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{ab}^{\mathrm{2}} }\left(\mathrm{2i}\pi\right)\left\{\mathrm{Res}\left(\Lambda,\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{a}}\right)+\mathrm{Res}\left(\Lambda,\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{b}}\right)\right\} \\$$$$\mathrm{Res}\left(\Lambda,\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{a}}\right)=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \left(\frac{\mathrm{2i}}{\mathrm{a}}\right)\left(−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\right)}=\frac{−\mathrm{1}}{\mathrm{2ia}\left(\frac{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} }\right)}=\frac{−\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{b}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2ia}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)} \\$$$$=\frac{−\mathrm{ab}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2i}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)} \\$$$$\mathrm{Res}\left(\Lambda,\frac{\mathrm{i}}{\mathrm{b}}\right)\:=\frac{−\mathrm{ba}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2i}\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)}\:\Rightarrow \\$$$$\Psi^{'} \left(\mathrm{a}\right)=\frac{\mathrm{2i}\pi}{\mathrm{ab}^{\mathrm{2}} }\left\{−\frac{\mathrm{ab}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2i}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}−\frac{\mathrm{ba}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{2i}\left(\mathrm{b}^{\mathrm{2}} −\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \right)}\right\} \\$$$$=−\frac{\pi}{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} }+\frac{\pi\mathrm{ba}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{ab}^{\mathrm{2}} \left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}=−\frac{\pi\mathrm{b}}{\mathrm{b}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)}\:+\frac{\pi\mathrm{a}}{\mathrm{b}\left(\mathrm{a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{b}^{\mathrm{2}} \right)} \\$$$$=\frac{\pi\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)}{\mathrm{b}\left(\mathrm{a}−\mathrm{b}\right)\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)}=\frac{\pi}{\mathrm{b}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)}\:\Rightarrow\Psi\left(\mathrm{a}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{b}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)\:+\mathrm{C} \\$$$$\Psi\left(\mathrm{0}\right)=\mathrm{0}=\frac{\pi\mathrm{lnb}}{\mathrm{b}}+\mathrm{c}\:\Rightarrow\mathrm{c}=−\frac{\pi\mathrm{lnb}}{\mathrm{b}}\:\Rightarrow \\$$$$\Psi\left(\mathrm{a}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{b}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{a}+\mathrm{b}\right)−\frac{\pi}{\mathrm{b}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{b}\right)=\frac{\pi}{\mathrm{b}}\mathrm{ln}\left(\frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}}{\mathrm{b}}\right) \\$$

Commented by mathdanisur last updated on 18/Aug/21

$$\mathrm{Thank}\:\mathrm{you}\:\mathrm{Ser} \\$$