Integration Questions

Question Number 139889 by qaz last updated on 02/May/21

$$\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} {x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{2}}{dx}=? \\$$

Commented by qaz last updated on 02/May/21

$${I}=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} {x}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{2}}{dx} \\$$$${x}=\frac{\mathrm{4}+{u}}{\mathrm{1}−\mathrm{4}{u}}\:\:\:\:\:\:\left\{{or}\:\:{x}=\frac{\mathrm{4}−{u}}{\mathrm{1}+\mathrm{4}{u}}\right\} \\$$$$\Rightarrow{dx}=\frac{\mathrm{4}+{u}}{\mathrm{1}−\mathrm{4}{u}}\left(\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}+{u}}+\frac{\mathrm{4}}{\mathrm{1}−\mathrm{4}{u}}\right){du}=\frac{\mathrm{17}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{4}{u}\right)^{\mathrm{2}} }{du} \\$$$${I}=\int_{−\mathrm{4}} ^{\mathrm{0}} \frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{4}+{u}}{\mathrm{1}−\mathrm{4}{u}}}{\left(\frac{\mathrm{4}+{u}}{\mathrm{1}−\mathrm{4}{u}}\right)^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}\centerdot\frac{\mathrm{4}+{u}}{\mathrm{1}−\mathrm{4}{u}}+\mathrm{2}}\centerdot\frac{\mathrm{17}}{\left(\mathrm{1}−\mathrm{4}{u}\right)^{\mathrm{2}} }{du} \\$$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{4}−{u}}{\mathrm{1}+\mathrm{4}{u}}}{{u}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{u}+\mathrm{2}}{du} \\$$$$\Rightarrow{I}=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} {x}+\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \frac{\mathrm{4}−{x}}{\mathrm{1}+\mathrm{4}{x}}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{2}}{dx} \\$$$$=\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{4}}{{x}^{\mathrm{2}} +\mathrm{4}{x}+\mathrm{2}}{dx} \\$$$$=\frac{\mathrm{tan}^{−\mathrm{1}} \mathrm{4}}{\:\mathrm{4}\sqrt{\mathrm{2}}}{ln}\frac{\mathrm{5}+\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}}{\mathrm{5}−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}} \\$$

Answered by mathmax by abdo last updated on 02/May/21

$$\mathrm{I}\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{arctanx}}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{2}}\mathrm{dx}\:\:\mathrm{let}\:\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{arctan}\left(\mathrm{ax}\right)}{\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{2}}\mathrm{dx}\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\:=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4}} \:\frac{\mathrm{x}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{a}^{\mathrm{2}} \mathrm{x}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{x}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4x}+\mathrm{2}\right)}\mathrm{dx}\:=_{\mathrm{ax}=\mathrm{t}} \:\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4a}} \:\frac{\mathrm{t}}{\mathrm{a}\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\left(\frac{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} }{\mathrm{a}^{\mathrm{2}} }+\frac{\mathrm{4t}}{\mathrm{a}}+\mathrm{2}\right)}\frac{\mathrm{dt}}{\mathrm{a}} \\$$$$=\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4a}} \:\frac{\mathrm{tdt}}{\left(\mathrm{1}+\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4at}\:+\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \right)}\:\mathrm{let}\:\mathrm{decompose}\: \\$$$$\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4at}\:+\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \right)} \\$$$$\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{4at}\:+\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} =\mathrm{0}\rightarrow\Delta^{'} \:=\mathrm{4a}^{\mathrm{2}} −\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \:=\mathrm{2a}^{\mathrm{2}} \:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{t}_{\mathrm{1}} =−\mathrm{2a}+\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{a}\:\:\mathrm{ant}\:\mathrm{t}_{\mathrm{2}} =−\mathrm{2a}−\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{a}\:\Rightarrow\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)=\frac{\mathrm{t}}{\left(\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \right)\left(\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} \right)\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)} \\$$$$=\frac{\alpha}{\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} }+\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} }\:+\frac{\mathrm{ct}\:+\mathrm{d}}{\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}} \\$$$$\alpha=\frac{\mathrm{t}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{a}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\mathrm{and}\:\mathrm{b}=\frac{\mathrm{t}_{\mathrm{2}} }{−\mathrm{2}\sqrt{\mathrm{2}}\mathrm{a}\left(\mathrm{t}_{\mathrm{2}} ^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)}\:\:\mathrm{c}=....\:\mathrm{and}\:\mathrm{d}=... \\$$$$\Rightarrow\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4a}} \:\mathrm{F}\left(\mathrm{t}\right)\mathrm{dt}\:=\alpha\left[\mathrm{ln}\mid\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \mid\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4a}} +\mathrm{b}\left[\mathrm{ln}\mid\mathrm{t}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} \mid\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4a}} +\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{2}}\left[\mathrm{ln}\left(\mathrm{t}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4a}} \\$$$$+\mathrm{d}\:\left[\mathrm{arctant}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{4a}} \\$$$$=\alpha\left\{\mathrm{ln}\mid\mathrm{4a}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \mid−\mathrm{ln}\mid\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \mid\right\}+\mathrm{b}\left\{\mathrm{ln}\mid\mathrm{4a}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} \mid−\mathrm{ln}\mid\mathrm{t}_{\mathrm{2}} \mid\right\} \\$$$$+\frac{\mathrm{c}}{\mathrm{2}}\mathrm{ln}\left(\mathrm{16a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\:+\mathrm{d}\:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{4a}\right)\:=\mathrm{f}^{'} \left(\mathrm{a}\right)\:\Rightarrow \\$$$$\mathrm{f}\left(\mathrm{a}\right)\:=\int\:\:\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{4a}−\mathrm{t}_{\mathrm{1}} }{\mathrm{t}_{\mathrm{1}} \:}\mid\alpha\left(\mathrm{a}\right)\mathrm{da}\:+\mathrm{b}\int\:\mathrm{ln}\mid\frac{\mathrm{4a}−\mathrm{t}_{\mathrm{2}} }{\mathrm{t}_{\mathrm{2}} }\mid\mathrm{b}\left(\alpha\right)\mathrm{da} \\$$$$+\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{2}}\int\:\mathrm{ln}\left(\mathrm{16a}^{\mathrm{2}} \:+\mathrm{1}\right)\mathrm{c}\left(\mathrm{a}\right)\mathrm{da}\:+\int\:\mathrm{arctan}\left(\mathrm{4a}\right)\mathrm{d}\left(\mathrm{a}\right)\mathrm{da} \\$$$$....\mathrm{be}\:\mathrm{continued}.... \\$$

Commented by qaz last updated on 03/May/21

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