Algebra Questions

Question Number 150489 by mathdanisur last updated on 12/Aug/21

$$\underset{\:\mathrm{0}} {\overset{\:\mathrm{2}} {\int}}\:\mid\mathrm{x}\mid\:\mathrm{x}^{\left[\boldsymbol{\mathrm{x}}+\mathrm{1}\right]} \:\mathrm{sgn}\left(\mathrm{x}\right)\:\mathrm{dx}\:=\:? \\$$

Answered by Olaf_Thorendsen last updated on 12/Aug/21

$$\mathrm{I}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \mid{x}\mid.{x}^{\left[{x}+\mathrm{1}\right]} \mathrm{sgn}\left({x}\right)\:{dx} \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} {x}.{x}^{\left[{x}+\mathrm{1}\right]} \left(+\mathrm{1}\right)\:{dx} \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}.{x}^{\left[{x}+\mathrm{1}\right]} \:{dx}+\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {x}.{x}^{\left[{x}+\mathrm{1}\right]} \:{dx} \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}.{x}^{\mathrm{1}} \:{dx}+\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {x}.{x}^{\mathrm{2}} \:{dx} \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} {x}^{\mathrm{2}} \:{dx}+\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{3}} \:{dx} \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\left[\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\right]_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} +\left[\frac{{x}^{\mathrm{4}} }{\mathrm{4}}\right]_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \\$$$$\mathrm{I}\:=\:\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}+\frac{\mathrm{15}}{\mathrm{4}}\:=\:\frac{\mathrm{49}}{\mathrm{12}} \\$$

Commented by mathdanisur last updated on 12/Aug/21

$$\mathrm{Cool}\:\mathrm{See}\:\mathrm{thankyou} \\$$$$\mathrm{If}\:\underset{\mathrm{0}} {\overset{\mathrm{2}} {\int}}\:\left[\mathrm{x}\right]\:\mathrm{x}^{\left[\mathrm{x}+\mathrm{1}\right]\:} \mathrm{sgn}\left(\mathrm{x}\right)\mathrm{dx} \\$$

Commented by Olaf_Thorendsen last updated on 13/Aug/21

$$\mathrm{J}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \left[{x}\right].{x}^{\left[{x}+\mathrm{1}\right]} \mathrm{sgn}\left({x}\right)\:{dx} \\$$$$\mathrm{J}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{2}} \left[{x}\right].{x}^{\left[{x}+\mathrm{1}\right]} \left(+\mathrm{1}\right)\:{dx} \\$$$$\mathrm{J}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \left[{x}\right].{x}^{\left[{x}+\mathrm{1}\right]} \:{dx}+\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \left[{x}\right].{x}^{\left[{x}+\mathrm{1}\right]} \:{dx} \\$$$$\mathrm{J}\:=\:\int_{\mathrm{0}} ^{\mathrm{1}} \mathrm{0}.{x}^{\mathrm{1}} \:{dx}+\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \mathrm{1}.{x}^{\mathrm{2}} \:{dx} \\$$$$\mathrm{J}\:=\:\int_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} {x}^{\mathrm{2}} \:{dx} \\$$$$\mathrm{J}\:=\:\left[\frac{{x}^{\mathrm{3}} }{\mathrm{3}}\right]_{\mathrm{1}} ^{\mathrm{2}} \\$$$$\mathrm{J}\:=\:\frac{\mathrm{8}}{\mathrm{3}}−\frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}}\:=\:\frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}} \\$$

Commented by mathdanisur last updated on 13/Aug/21

$$\mathrm{Cool}\:\mathrm{Ser}\:\mathrm{thankyou} \\$$